Mit zunehmendem Alter werden Sie größer – aber nicht ohne Grenzen!
Schließlich lässt sich jede Person auf einer bestimmten Höhe nieder.
Schalten Sie einen Ofen aus und öffnen Sie die Tür – der Ofen kühlt ab.
Aber es wird nicht immer kälter!
Schließlich setzt er sich bei Raumtemperatur ab.
Binden Sie einen Gegenstand an den Ende einer Feder, und ziehen Sie daran.
Sie springt auf und ab, auf und ab, auf und ab.
Schließlich setzt sie sich jedoch auf einer bestimmten Höhe ab.

Wenn Sie diese realen Szenarien mithilfe von Mathematik modellieren, werden Sie mit horizontalen Asymptoten zu tun haben!

HINWEISE ZU HORIZONTALEN ASYMPTOTEN:

Eine Funktion kann zwei horizontale Asymptoten haben. Zum Beispiel hat die Arkustangensfunktion zwei horizontale Asymptoten, wie rechts gezeigt. Wenn sich $ \, x \, $ der Unendlichkeit nähert, wird die $ y $ -Werte nähern sich einer endlichen Zahl. Wenn sich $ \, x \, $ der negativen Unendlichkeit nähert, nähern sich die $ y $ -Werte einer anderen endlichen Zahl. Eine Funktion kann nicht mehr als zwei horizontale Asymptoten haben.

Beispiel 1: Überprüfen einer rationalen Funktion auf eine horizontale Asymptote; Grad des Nenners größer als Grad des Zählers

Jetzt wissen wir es also! Wenn $ \, x \, $ groß ist, sind die Ausgaben nahe Null.
Somit ist ‚$ \, y = 0 \, $‘ eine horizontale Asymptote.

Hier ist eine einfachere (aber weniger genaue) Möglichkeit, über das Geschehen nachzudenken:

Beispiel 2: Überprüfen einer rationalen Funktion für eine horizontale Asymptote; Grad des Nenners gleich Grad des Zählers

Sei $ \ displaystyle \, R (x) = \ frac {3x-1} {5x + 2} \, $.

Hier ist eine einfachere (aber weniger präzise) Art und Weise, über das Geschehen nachzudenken:

Hier ist eine weitere einfache (aber weniger präzise) Möglichkeit, über das Geschehen nachzudenken:

Zusammenfassend haben wir:

BEDINGUNGEN, UNTER DENEN EINE RATIONALE FUNKTION EIN HORIZONTALES ASYMPTOT HAT