När du åldras blir du längre – men inte utan bunden!
Så småningom sätter sig varje person i en viss höjd.
Stäng av en ugn och öppna dörren – ugnen svalnar.
Men den blir inte kallare och kallare!
Så småningom sätter den sig vid rumstemperatur.
Fäst ett föremål på slutet av en fjäder och ge den en bogserbåt.
Den studsar upp och ner, upp och ner, upp och ner.
Så småningom sätter den sig dock i en viss höjd.

Om du modellerar dessa verkliga scenarier med hjälp av matematik, kommer du att befinna dig med horisontella asymptoter!

ANMÄRKNINGAR OM HORISONTALA ASYMPTOTER:

En funktion kan ha två horisontella asymptoter. Till exempel har arctangent-funktionen två horisontella asymptoter, som visas till höger. När $ \, x \, $ närmar sig oändligheten, $ y $ -värden närmar sig ett ändligt antal. När $ \, x \, $ närmar sig negativ oändlighet, närmar sig $ y $ -värdena ett annat ändligt antal. En funktion kan inte ha mer än två horisontella asymptoter.

Exempel 1: Kontrollera en rationell funktion för en horisontell asymptot; graden av nämnare större än graden av täljare

Så nu vet vi! När $ \, x \, $ är stort är utgångarna nära noll.
Således är ’$ \, y = 0 \, $’ en horisontell asymptot.

Här är ett enklare (men mindre exakt) sätt att tänka på vad som händer:

Exempel 2: Kontrollera en rationell funktion för en horisontell asymptot; grad av nämnare lika med grad av täljare

Låt $ \ displaystyle \, R (x) = \ frac {3x-1} {5x + 2} \, $.

Här är det enklare (men mindre exakt) sätt att tänka på vad som händer:

Här är ännu ett enkelt (men mindre exakt) sätt att tänka på vad som händer:

Sammanfattningsvis har vi:

VILLKOR UNDER VILKEN EN RATIONELL FUNKTION HAR EN HORISONTAL ASYMPTOT