Polygon

En polygon är en plan form (tvådimensionell) med raka sidor. Exempel inkluderar trianglar, fyrkantiga, femkantiga, hexagoner och så vidare.

Regelbunden

A ”Regelbunden polygon ”har: alla sidor lika och alla vinklar lika. Annars är det oregelbundet.

Vanlig Pentagon Oregelbunden Pentagon

Här tittar vi bara på vanliga polygoner.

Egenskaper

Så vad kan vi veta om vanliga polygoner? Först och främst kan vi räkna ut vinklar.

Utvändig vinkel Den yttre vinkeln är vinkeln mellan valfri sida av en form, och en linje som sträcker sig från nästa sida.

Alla polygonens yttre vinklar lägger till 360 °, så:

Varje yttre vinkel måste vara 360 ° / n

(där n är antalet sidor)

Tryck på uppspelningsknappen för att se.

Invändiga vinklar Interiören Ang le och yttre vinkel mäts från samma linje så att de lägger till 180 °.

Interior Angle = 180 ° – yttre vinkel

Vi känner till den yttre vinkeln = 360 ° / n, så:

Invändig vinkel = 180 ° – 360 ° / n

Och nu för några namn:

”Circumcircle, Incircle, Radius and Apothem …”

Låter ganska musikaliskt om du upprepar det några gånger, men de är bara namnen på ”yttre” och ”inre ”cirklar (och varje radie) som kan ritas på en polygon så här:

Den ”yttre” cirkeln kallas en cirkel, och den förbinder alla hörnpunkter (hörnpunkter) på polygonen.

Omkretsens radie är också polygonens radie.

Den ”inre” cirkeln kallas en cirkel och den berör bara vardera sidan av polygonen vid dess mittpunkt.

Radius för cirkeln är polygonets apotem.

(Inte alla polygoner har dessa egenskaper, men trianglar och vanliga polygoner har).

Bryter in i T rianglar

Vi kan lära oss mycket om vanliga polygoner genom att bryta dem i trianglar som detta:

Lägg märke till att:

• triangelns ”bas” är ena sidan av polygonen.
• triangelns ”höjd” är polygonets ”apotem”

Nu är arean av en triangel hälften av basen gånger höjden, så:

Arean för en triangel = bas × höjd / 2 = sida × apotem / 2

För att få arean för hela polygonen, lägg bara till områdena för alla små trianglar (”n” av dem):

Area av polygon = n × sida × apothem / 2

Och eftersom omkretsen är alla sidor = n × sida får vi:

Area av polygon = perimeter × apothem / 2

En mindre triangel

Genom att skära triangeln i hälften får vi det här:

( Obs: Vinklarna är i radianer, inte grader)

Den lilla triangeln är rätvinklad och så kan vi använda sinus, cosinus och tangent för att fi och hur sida, radie, apotem och n (antal sidor) är relaterade:

Det finns mycket fler relationer som de (de flesta bara ”omarrangemang”), men de kommer att göra för nu.

Fler områdesformler

Vi kan använda det för att beräkna området när vi bara känner till Apothem:

Och det finns två sådana trianglar per sida, eller 2n för hela polygonen:

Area av polygon = n × Apothem2 × tan (π / n)

När vi inte känner till Apothem kan vi använda samma formel men omarbetade för Radius eller för Sida:

Polygonområde = ½ × n × Radius2 × sin (2 × π / n)

Polygonområde = ¼ × n × Side2 / tan (π / n)

En tabell över värden

Och här är en tabell över Side, Apothem och Area jämfört med en radie på ”1”, med formlerna vi har tränat: