Polygone

Un polygone est une forme plane (bidimensionnelle) avec des côtés droits. Les exemples incluent des triangles, des quadrilatères, des pentagones, des hexagones, etc.

Regular

A « Regular Polygon « a: tous les côtés égaux et tous les angles égaux. Sinon, c’est irrégulier.

Pentagone régulier Pentagone irrégulier

Ici, nous examinons uniquement les polygones réguliers.

Propriétés

Alors, que pouvons-nous savoir sur polygones réguliers? Tout d’abord, nous pouvons travailler sur les angles.

Angle extérieur L’angle extérieur est l’angle entre n’importe quel côté d’une forme, et une ligne prolongée du côté suivant.

Tous les angles extérieurs d’un polygone s’additionnent à 360 °, donc:

Chaque angle extérieur doit être de 360 ° / n

(où n est le nombre de côtés)

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Angles intérieurs L’intérieur Ang le et l’angle extérieur sont mesurés à partir de la même ligne, donc ils totalisent 180 °.

Angle intérieur = 180 ° – Angle extérieur

Nous connaissons l’angle extérieur = 360 ° / n, donc:

Angle intérieur = 180 ° – 360 ° / n

Et maintenant pour quelques noms:

« Circumcircle, Incircle, Radius and Apothem … »

Cela semble assez musical si vous le répétez plusieurs fois, mais ce ne sont que les noms des « extérieurs » et « intérieurs » « cercles (et chaque rayon) pouvant être dessinés sur un polygone comme celui-ci:

Le cercle « extérieur » est appelé un cercle circulaire, et il relie tous les sommets (points d’angle) du polygone.

Le rayon du cercle circulaire est également le rayon du polygone.

Le cercle « intérieur » est appelé un cercle incurvé et il touche juste chaque côté du polygone en son milieu.

Le rayon du cercle incurvé est l’apothème du polygone.

(Tous les polygones n’ont pas ces propriétés, mais les triangles et les polygones réguliers en ont).

Rupture en T riangles

Nous pouvons en apprendre beaucoup sur les polygones réguliers en les divisant en triangles comme ceci:

Notez que:

• la « base » du triangle est un côté du polygone.
• la « hauteur » du triangle est « l’apothème » du polygone

Maintenant, l’aire d’un triangle est la moitié de la hauteur de base multipliée par la hauteur, donc:

Aire d’un triangle = base × height / 2 = side × apothem / 2

Pour obtenir l’aire de tout le polygone, additionnez simplement les aires de tous les petits triangles (« n » d’entre eux):

Area of Polygon = n × side × apothem / 2

Et puisque le périmètre est tous les côtés = n × side, on obtient:

Area of Polygon = périmètre × apothem / 2

Un triangle plus petit

En coupant le triangle en deux, nous obtenons ceci:

( Remarque: les angles sont en radians, pas en degrés)

Le petit triangle est rectangle et nous pouvons donc utiliser sinus, cosinus et tangente à fi nd comment le côté, le rayon, l’apothème et n (nombre de côtés) sont liés:

Il y a beaucoup plus de relations comme celles-là (la plupart ne sont que des « réarrangements »), mais celles-ci feront l’affaire pour maintenant.

Plus de formules d’aires

Nous pouvons utiliser cela pour calculer l’aire lorsque nous ne connaissons que l’Apothème:

Et il y a 2 triangles de ce type par côté, ou 2n pour le polygone entier:

Aire du polygone = n × Apothem2 × tan (π / n)

Quand on ne connaît pas l’Apothème, on peut utiliser la même formule mais retravaillé pour le rayon ou pour le côté:

Aire du polygone = ½ × n × Radius2 × sin (2 × π / n)

Aire du polygone = ¼ × n × Side2 / tan (π / n)

Un tableau de valeurs

Et voici un tableau de Side, Apothem et Area comparé à un rayon de « 1 », en utilisant les formules que nous ont travaillé: