Wielobok

Wielokąt to płaski kształt (dwuwymiarowy) o prostych bokach. Przykłady obejmują trójkąty, czworokąty, pięciokąty, sześciokąty itd.

Zwykły

A „Regularny wielokąt „ma: wszystkie boki są równe i wszystkie kąty są równe. W przeciwnym razie jest to nieregularne.

Zwykły pięciokąt Nieregularny pięciokąt

Tutaj patrzymy tylko na regularne wielokąty.

Właściwości

Więc co możemy wiedzieć o regularne wielokąty? Przede wszystkim możemy obliczyć kąty.

Kąt zewnętrzny Kąt zewnętrzny to kąt pomiędzy dowolną stroną kształtu a linią przedłużoną z następnej strony.

Wszystkie zewnętrzne kąty wielokąta sumują się do 360 °, więc:

Każdy kąt zewnętrzny musi wynosić 360 ° / n

(gdzie n to liczba boków)

Naciśnij przycisk odtwarzania, aby zobaczyć.

Kąty wewnętrzne Wnętrze Ang le i kąt zewnętrzny są mierzone od tej samej linii, więc sumują się do 180 °.

Kąt wewnętrzny = 180 ° – Kąt zewnętrzny

Znamy kąt zewnętrzny = 360 ° / n, więc:

Kąt wewnętrzny = 180 ° – 360 ° / n

A teraz kilka nazw:

„Circumcircle, Incircle, Radius and Apothem …”

Brzmi dość muzycznie, jeśli powtórzysz to kilka razy, ale to tylko nazwy „zewnętrznego” i „wewnętrznego” „okręgi (i każdy promień), które można narysować na wielokącie takim jak ten:

Okrąg „zewnętrzny” nazywany jest okręgiem opisanym i łączy wszystkie wierzchołki (punkty narożne) wielokąta.

Promień okręgu opisanego jest również promieniem wielokąta.

„Wewnętrzny” okrąg nazywa się okręgiem i po prostu dotyka każdej strony wielokąta w jego środkowej części.

Promień okręgu jest apotemem wielokąta.

(Nie wszystkie wielokąty mają takie właściwości, ale trójkąty i wielokąty regularne mają).

Włamanie do T riangles

Możemy się wiele nauczyć o regularnych wielokątach, dzieląc je na trójkąty, takie jak to:

Zauważ, że:

• „podstawa” trójkąta to jedna strona wielokąta.
• „wysokość” trójkąta to „Apothem” wielokąta

Teraz pole trójkąta jest równe połowie podstawy razy wysokość, więc:

Pole jednego trójkąta = podstawa × wysokość / 2 = bok × apothem / 2

Aby uzyskać pole całego wielokąta, po prostu zsumuj powierzchnie wszystkich małych trójkątów („n” z nich):

Pole wielokąta = n × bok × apothem / 2

A ponieważ obwód to wszystkie boki = n × bok, otrzymujemy:

Pole wielokąta = obwód × apotem / 2

Mniejszy trójkąt

Przecinając trójkąt na pół, otrzymujemy:

( Uwaga: kąty są podane w radianach, a nie w stopniach)

Mały trójkąt jest prostokątny, więc możemy użyć sinusa, cosinusa i stycznej do fi i jak bok, promień, apotem i n (liczba boków) są ze sobą powiązane:

Jest o wiele więcej takich relacji (większość z nich to po prostu „przearanżowanie”), ale te wystarczą teraz.

Więcej wzorów na pole powierzchni

Możemy użyć tego do obliczenia pola, gdy znamy tylko Apothem:

A na bok są 2 takie trójkąty, lub 2n dla całego wielokąta:

Obszar wielokąta = n × Apothem2 × tan (π / n)

Gdy nie znamy Apotemu, możemy użyć tego samego wzoru ale przerobiono dla Radius lub dla boku:

Powierzchnia wielokąta = ½ × n × Promień2 × sin (2 × π / n)

Pole wielokąta = ¼ × n × Bok2 / tan (π / n)

Tabela wartości

A oto tabela boków, apotemów i powierzchni w porównaniu z promieniem „1”, używając wzorów, które wypracowaliśmy: