Quantas diagonais são um polígono com 300 lados? Bem, não faria muito sentido desenhar um polígono com 300 lados e desenhar em todas as diagonais. Deve haver um atalho ou uma fórmula.
Bem, primeiro vamos voltar. O que é diagonal? Uma diagonal é qualquer segmento de linha que conecta dois vértices não consecutivos. Então, se olharmos para um triângulo. Se eu olhar para cada vértice, novamente o vértice é onde duas extremidades se encontram e dois lados se encontram. Não tenho como desenhar em uma diagonal aqui porque, para este vértice, ambos os lados são consecutivos. Portanto, não há como termos diagonais.
Se eu olhar para um quadrado, no entanto, posso vejo que há um vértice não consecutivo se eu olhar para este vértice. Eu olho para outro vértice, há apenas um vértice não consecutivo. Então, vamos ver se podemos descobrir o padrão. Para fazer isso, vamos usar esta tabela aqui, onde tenho três colunas; uma para o número de vértices, uma para o número de diagonais por vértice e o número total de diagonais que vemos em um polígono.
Então, já começamos com dois polígonos diferentes. Já falamos sobre triângulo. Então, o número de vértices em um triângulo bem, são apenas três. O número de diagonais que dissemos era zero porque não há como desenharmos na diagonal. O que significa que nossas diagonais totais ainda são zero. Ok?
Vamos voltar e olhar para o quadrado. O quadrado que dissemos, há 1, 2, 3, 4 vértices. Este vértice aqui tem apenas uma diagonal, este vértice aqui tem apenas uma diagonal, então nós somos quatro vértices, cada vértice tem uma diagonal, mas vemos apenas dois deles. Portanto, vemos que haverá algum tipo de divisão que terá de ocorrer aqui.
Por último, vamos olhar um pentágono. Se eu olhar para este vértice, posso desenhar um , duas diagonais. E verei que para cada vértice, poderei desenhar duas diagonais diferentes. Portanto, o número de vértices aqui é cinco, o número de diagonais por vértice é dois e o total de diagonais aqui temos uma pequena estrela, então temos cinco diagonais. Então, quero saber primeiro para n vértices porque vou desenhar ponto ponto ponto para n vértices, qual será o número total?
Bem, eu vejo isso se eu multiplicar 3 vezes 0, então fazemos um ponto aqui. 3 vezes 0 é 0, então estamos bem. Aqui temos 4 vezes 1, mas isso não é igual a 2. Portanto, o que vamos ter que fazer é pegar 4 vezes 1 e dividir isso pela metade. 5 vezes 2 dividido pela metade é igual a 5. Então eu olho para o número de vértices que temos três, então vamos chamar isso de n. Aqui temos o número de diagonais por vértice, aqui temos 0, 1 e 2 e vejo que para ir de 3 para 0 vou subtrair 3 para ir de 5 para 1, subtraio 3 de 5 para 2 subtraio 3. Portanto, temos n vezes a quantidade de n menos 3, todos divididos por 2.
Portanto, duas coisas importantes sobre esta fórmula aqui, que informa o número de diagonais, e abreviarei DIAG.
o número de diagonais, há duas coisas importantes que quero destacar. A primeira é este n-3. De onde vem n-3? Bem, se temos cinco vértices aqui. Não vamos contar o vértice isso é porque você não pode desenhar um vértice para si mesmo e há mais dois vértices consecutivos para um total de três vértices neste polígono que não estamos realmente contando.
A segunda parte importante aqui é dividir por 2. Por que temos que dividir isso por 2? Se eu voltar ao quadrado, se eu olhar para este vértice, desenhei em uma diagonal. Da perspectiva deste vértice, eu desenhei apenas um. Da perspectiva deste vértice, desenhei outra diagonal. Mas é a mesma diagonal. Portanto, cada vértice e cada diagonal que traçamos de um vértice serão contados duas vezes, por isso temos que dividir nossa fórmula por dois.