Hur många diagonaler är en polygon med 300 sidor? Det skulle inte vara så meningsfullt att rita en polygon med 300 sidor och rita på alla diagonalerna. Det måste finnas en genväg eller en formel.
Nå, låt oss först säkerhetskopiera. Vad är en diagonal? En diagonal är varje linjesegment som förbinder två icke-på varandra följande hörn. Så om vi tittar på en triangel. Om jag tittar på varje enskilt toppunkt är toppunktet där två ändar möter två sidor möts. Det finns inget sätt för mig att rita på en diagonal här, för för detta toppunkt är båda dessa sidor i följd. Så det finns inget sätt för oss att ha några diagonaler.
Om jag ser på en fyrkant kan jag dock se att det finns ett toppunkt som inte följer om jag tittar på det här toppunktet. Jag tittar på ett annat toppunkt där bara ett toppunkt som inte följer. Låt oss se om vi kan räkna ut mönstret. För att göra det ska vi använda den här tabellen här där jag har tre kolumner; en för antalet hörn, en för antalet diagonaler per vertex och det totala antalet diagonaler som vi ser i en polygon.
Så vi har redan börjat med två olika polygoner. Vi har pratat om en triangel. Så, antalet hörn i en triangel, det är bara tre. Antalet diagonaler som vi sa var noll eftersom det inte finns något sätt för oss att rita in en diagonal. Vilket innebär att våra totala diagonaler fortfarande är noll. Okej?
Låt oss gå tillbaka och titta på torget. Torget vi sa, det finns 1, 2, 3, 4 hörn. Det här toppet här har bara en diagonal, det här toppet här har bara en diagonal så vi är fyra hörn, varje topp har en diagonal men vi ser bara två av dem. Så vi ser att det kommer att finnas någon sorts uppdelning som måste fortsätta här.
Slutligen, låt oss titta på en femkant. Om jag tittar på denna toppunkt kan jag rita in en , två diagonaler. Och jag kommer att se att för varje toppunkt kommer jag att kunna dra in, två olika diagonaler. Så antalet hörn här är fem, antalet diagonaler per topp är två och det totala antalet diagonaler här har vi en liten stjärna så vi har fem diagonaler. Så jag vill först veta för n hörn eftersom jag tecknar prick prick för n hörn, vad blir det totala antalet?
Tja, jag ser det om jag multiplicerar 3 gånger 0 så gör vi en punkt här. 3 gånger 0 är 0 så vi är okej där. Här har vi 4 gånger 1, men det är inte lika med 2. Så vad vi måste göra är att jag måste ta 4 gånger 1 och dela det i hälften. 5 gånger 2 delat i hälften är lika med 5. Så jag tittar på antalet hörn vi har tre så vi kommer att kalla det n. Här har vi antal diagonaler per vertex, här har vi 0, 1 och 2 och jag ser att för att komma från 3 till 0 kommer jag att subtrahera 3 för att komma från 5 till 1, jag subtraherar 3 från 5 till 2 jag subtraherar 3. Så vi har n gånger mängden n minus 3 alla dividerade med 2.
Så två viktiga saker om denna formel här som berättar antalet diagonaler och jag ska förkorta DIAG.
Så antalet diagonaler, det finns två viktiga saker som jag vill påpeka. Den första är den här n-3. Var kommer n-3 från? Nåväl om vi har fem hörn här. Vi kommer inte att räkna toppunkten det är för att du inte kan rita en topp till sig själv plus att det finns ytterligare två på varandra följande hörn för totalt tre hörn i denna polygon som vi inte riktigt räknar med.
Den andra nyckeldelen här är denna del med 2. Varför måste vi dela detta med 2? Om jag går tillbaka till detta till torget, om jag tittar på denna topp, har jag ritat i en diagonal. Från detta perspektiv har jag bara ritat en. Ur detta toppunktperspektiv har jag ritat en annan diagonal. Men det är samma diagonal. Så varje topp och varje diagonal som vi drar från en topp kommer att räknas två gånger och det är därför vi måste dela vår formel med två.