Hány átló van egy sokszög 300 oldallal? Nos, nem lenne sok értelme olyan sokszöget rajzolni, amelynek 300 oldala van, és az összes átlóra rajzolni. Kell lennie egy parancsikonnak vagy képletnek.
Nos, először készítsünk biztonsági másolatot. Mi az átló? Átló minden olyan vonalszakasz, amely két nem egymást követő csúcsot köt össze. Tehát ha egy háromszöget nézünk. Ha minden egyes csúcsot megnézek, akkor megint a csúcs az, ahol két vég találkozik, és két oldal találkozik. Itt nincs mód arra, hogy átlóra rajzoljak, mert ennél a csúcsnál mindkét oldal egymás után következik. Tehát nincs mód arra, hogy legyenek átlónk.
Ha azonban egy négyzetet nézek, akkor lásd, hogy van egy nem egymást követő csúcs, ha ezt a csúcsot nézem. Megnézek egy másik csúcsot, ahol csak egy nem egymást követő csúcs van. Tehát nézzük meg, hogy ki tudjuk-e találni a mintát. Ehhez ezt a táblázatot fogjuk itt használni, ahol három oszlopom van: az egyik a csúcsok számához, egy a csúcsonkénti átló számához és a sokszögben látott átlósok számához.
Tehát már két különböző poligonnal kezdtük. Háromszögről beszéltünk. Tehát, egy háromszög kútjának csúcsainak száma, ez csak három. Az általunk mondott átlósok száma nulla volt, mert nincs módunk átlóba rajzolni. Ami azt jelenti, hogy a teljes átlónk még mindig nulla. Oké?
Térjünk vissza, és nézzük meg a négyzetet. A négyzet, amelyet mondtunk, 1, 2, 3, 4 csúcsot tartalmaz. Ennek a csúcsnak itt csak egy átlója van, ennek a csúcsnak csak egy átlója van, tehát négy csúcs van, mindegyik csúcsnak egy átlója van, de csak kettőt látunk. Tehát látjuk, hogy lesz egyfajta felosztás, amelynek itt folytatódnia kell.
Utolsó, nézzünk meg egy ötszöget. Ha ezt a csúcsot nézem, egybe rajzolhatok , két átló. És azt fogom látni, hogy minden csúcshoz képes leszek behúzni, két különböző átlót. Tehát itt a csúcsok száma öt, az egyes csúcsokon lévő átlóak száma kettő és az összes átlói itt van egy kis csillagunk, így öt átlónk van. Tehát először n csúcsról szeretnék tudni, mert n csúcsra pont pontot rajzolok, mi lesz a teljes szám?
Nos, ezt látom ha 3-szorosszorozom 0-t, akkor itt pontot csinálunk. 3-szor 0 0, tehát ott rendben vagyunk. Itt van négyszer 1, de ez nem egyenlő 2-vel. Tehát azt kell tennünk, hogy négyszer 1-et kell vennem, és osztani hogy a felére. Ötször 2 felére osztva egyenlő 5. Tehát megnézem a három csúcsunk számát, így ezt n-nek fogjuk nevezni. Itt van egy átlónk száma csúcsonként, itt 0, 1 és 2 van, és úgy látom, hogy ha 3-ról 0-ra akarok jutni, akkor “m” kivon 3-at, hogy 5-ről 1-re kapjon, én 3-at 5-ről 2-re vonok 3. Tehát n-szer annyi, mint mínusz 3, mind elosztva 2-vel.
Tehát itt két kulcsfontosságú dolog van ezzel a képlettel kapcsolatban, amely megadja az átlósok számát, és rövidíteni fogom a DIAG-t.
Tehát az átló számát, két kulcsfontosságú dolgot szeretnék kiemelni. Az első ez az n-3. Honnan származik az n-3? Nos, ha itt van öt csúcsunk. Nem fogjuk megszámolni a csúcsot maga azért, mert nem lehet magához csúcsot húzni, ráadásul ebben a sokszögben még két egymást követő csúcs található összesen három csúcsért, amelyeket nem igazán számítunk.
A második legfontosabb rész itt ez a kettővel való osztás. Miért kell ezt kettővel felosztanunk? Ha visszatérek erre a négyzetre, ha megnézem ezt a csúcsot, akkor egy átlósan rajzolódom. Ebből a csúcsból csak egyet rajzoltam meg. Ebből a csúcs perspektívájából rajzoltam még egy átlót. De ugyanaz az átló. Tehát minden csúcsot és minden átlót, amelyet egy csúcsból húzunk, kétszer megszámoljuk, ezért fel kell osztanunk képletünket kettővel.