Wie viele Diagonalen hat ein Polygon mit 300 Seiten? Es würde nicht viel Sinn machen, ein Polygon mit 300 Seiten zu zeichnen und auf all diese Diagonalen zu zeichnen. Es muss eine Verknüpfung oder eine Formel geben.
Nun, lassen Sie uns zuerst zurück. Was ist eine Diagonale? Eine Diagonale ist ein Liniensegment, das zwei nicht aufeinanderfolgende Scheitelpunkte verbindet. Wenn wir uns also ein Dreieck ansehen. Wenn ich mir jeden einzelnen Scheitelpunkt anschaue, ist der Scheitelpunkt wieder der Ort, an dem sich zwei Enden und zwei Seiten treffen. Es gibt keine Möglichkeit für mich, hier auf eine Diagonale zu zeichnen, da für diesen Scheitelpunkt beide Seiten aufeinander folgen. Es gibt also keine Möglichkeit für uns, Diagonalen zu haben.
Wenn ich jedoch ein Quadrat betrachte, kann ich Sehen Sie, dass es einen nicht aufeinanderfolgenden Scheitelpunkt gibt, wenn ich diesen Scheitelpunkt betrachte. Ich schaue auf einen anderen Scheitelpunkt, es gibt nur einen nicht aufeinanderfolgenden Scheitelpunkt. Lassen Sie uns also sehen, ob wir das Muster herausfinden können. Dazu verwenden wir diese Tabelle hier, wo ich drei Spalten habe: eine für die Anzahl der Scheitelpunkte, eine für die Anzahl der Diagonalen pro Scheitelpunkt und die Gesamtzahl der Diagonalen, die wir in einem Polygon sehen.
Wir haben also bereits mit zwei verschiedenen Polygonen begonnen. Wir haben über ein Dreieck gesprochen. Also, Anzahl der Eckpunkte in einem Dreiecksbrunnen, das sind nur drei. Die Anzahl der Diagonalen, die wir angegeben haben, war Null, da wir keine Diagonale zeichnen können. Was bedeutet, dass unsere Gesamtdiagonalen immer noch Null sind. Okay?
Gehen wir zurück und schauen uns das Quadrat an. Das Quadrat, das wir gesagt haben, gibt es 1, 2, 3, 4 Eckpunkte. Dieser Scheitelpunkt hier hat nur eine Diagonale, dieser Scheitelpunkt hier hat nur eine Diagonale Wir sind vier Eckpunkte, jeder Eckpunkt hat eine Diagonale, aber wir sehen nur zwei davon. Wir sehen also, dass es eine Art Teilung geben wird, die hier weitergehen muss.
Schauen wir uns zum Schluss ein Fünfeck an. Wenn ich diesen Scheitelpunkt betrachte, kann ich eine zeichnen , zwei Diagonalen. Und ich werde sehen, dass ich für jeden Scheitelpunkt zwei verschiedene Diagonalen zeichnen kann. Die Anzahl der Scheitelpunkte beträgt hier also fünf, die Anzahl der Diagonalen pro Scheitelpunkt beträgt zwei und die Summe von Diagonalen hier haben wir einen kleinen Stern, also haben wir fünf Diagonalen. Also möchte ich zuerst für n Eckpunkte wissen, weil ich Punkt für Punkt für n Eckpunkte zeichnen werde. Wie hoch wird die Gesamtzahl sein?
Nun, das sehe ich Wenn ich 3 mal 0 multipliziere, machen wir hier einen Punkt. 3 mal 0 ist 0, also sind wir dort in Ordnung. Hier haben wir 4 mal 1, aber das ist nicht gleich 2. Was wir also tun müssen, ist, dass ich 4 mal 1 nehmen und teilen muss das in der Hälfte. 5 mal 2 geteilt in die Hälfte ist gleich 5. Also schaue ich mir die Anzahl der Eckpunkte an, die wir drei haben, also werden wir das n nennen. Hier haben wir die Anzahl der Diagonalen pro Scheitelpunkt, hier haben wir 0, 1 und 2 und ich sehe, dass ich, um von 3 auf 0 zu kommen, 3 subtrahieren werde, um von 5 auf 1 zu kommen, subtrahiere ich 3 von 5 auf 2, subtrahiere ich 3. Wir haben also die n-fache Menge von n minus 3 geteilt durch 2.
Also zwei wichtige Dinge zu dieser Formel hier, die Ihnen die Anzahl der Diagonalen angibt, und ich werde DIAG abkürzen.
Also Bei der Anzahl der Diagonalen gibt es zwei wichtige Dinge, auf die ich hinweisen möchte. Die erste ist diese n-3. Woher kommt n-3? Nun, wenn wir hier fünf Eckpunkte haben. Wir werden den Eckpunkt nicht zählen Das ist selbst, weil Sie keinen Scheitelpunkt für sich selbst zeichnen können. Außerdem gibt es zwei weitere aufeinanderfolgende Scheitelpunkte für insgesamt drei Scheitelpunkte in diesem Polygon, die wir nicht wirklich zählen.
Der zweite wichtige Teil hier ist diese Division durch 2. Warum müssen wir dies durch 2 teilen? Wenn ich zum Quadrat zurückkehre, wenn ich diesen Scheitelpunkt betrachte, habe ich in einer Diagonale gezeichnet. Aus der Perspektive dieses Eckpunkts habe ich nur einen gezeichnet. Aus der Perspektive dieses Scheitelpunkts habe ich eine weitere Diagonale gezeichnet. Aber es ist dieselbe Diagonale. Jeder Scheitelpunkt und jede Diagonale, die wir aus einem Scheitelpunkt ziehen, wird zweimal gezählt, weshalb wir unsere Formel durch zwei teilen müssen.
