Kolik úhlopříček je mnohoúhelník se 300 stranami? No, nedalo by smysl dávat nakreslit mnohoúhelník s 300 stranami a nakreslit všechny tyto úhlopříčky. Musí existovat zkratka nebo vzorec.
No, nejdřív se pojďme vrátit. Co je to úhlopříčka? Úhlopříčka je jakýkoli úsečka, která spojuje dva po sobě následující vrcholy. Podíváme-li se tedy na trojúhelník. Když se podívám na každý jednotlivý vrchol, opět je vrchol tam, kde se setkávají dva konce, dvě strany. Neexistuje způsob, jak bych zde mohl čerpat z úhlopříčky, protože pro tento vrchol jsou obě tyto strany po sobě jdoucí. Takže neexistuje způsob, jak bychom měli nějaké úhlopříčky.
Pokud se však podívám na čtverec, mohu podívejte se, že existuje jeden nesouvislý vrchol, když se podívám na tento vrchol. Dívám se na jiný vrchol, existuje pouze jeden nesouvislý vrchol. Podívejme se tedy, jestli dokážeme zjistit vzor. K tomu použijeme tuto tabulku, kde mám tři sloupce; jeden pro počet vrcholů, jeden pro počet úhlopříček na vrchol a celkový počet úhlopříček, které vidíme v mnohoúhelníku.
Takže jsme už začali se dvěma různými polygony. „Mluvili jsme o trojúhelníku. Takže počet vrcholů v trojúhelníkové jamce, to jsou jen tři. Počet úhlopříček, který jsme řekli, byl nulový, protože neexistuje způsob, jak nakreslit úhlopříčku. Což znamená, že naše celkové úhlopříčky jsou stále nulové. Dobře?
Vraťme se zpět a podívejme se na náměstí. Náměstí, které jsme řekli, má vrcholy 1, 2, 3, 4. Tento vrchol má pouze jednu úhlopříčku, tento vrchol má pouze jednu úhlopříčku, takže jsme čtyři vrcholy, každý vrchol má jednu úhlopříčku, ale vidíme jen dva z nich. Takže vidíme, že tu bude nějaký druh rozdělení, které bude muset pokračovat tady.
Nakonec se podívejme na pětiúhelník. Když se podívám na tento vrchol, můžu nakreslit jeden , dvě úhlopříčky. A uvidím, že pro každý vrchol budu schopen čerpat, dvě různé úhlopříčky. Takže počet vrcholů je zde pět, počet úhlopříček na vrchol jsou dva a součet úhlopříčky zde máme malou hvězdu, takže máme pět úhlopříček. Takže chci vědět nejprve pro n vrcholů, protože budu kreslit tečku tečku tečku pro n vrcholů, jaký bude celkový počet?
No vidím to když vynásobím 3krát 0, uděláme zde tečku. 3krát 0 je 0, takže jsme v pořádku. Tady máme 4krát 1, ale to se nerovná 2. Takže to, co budeme muset udělat, je, že budu muset vzít 4krát 1 a rozdělit že na polovinu. 5krát 2 rozděleno na polovinu se rovná 5. Podívám se tedy na počet vrcholů, které máme tři, takže tomu budeme říkat n. Zde máme počet úhlopříček na vrchol, tady máme 0, 1 a 2 a vidím, že pro získání od 3 do 0 odečítám 3, abych získal od 5 do 1, odečítám 3 od 5 do 2, odečítám 3. Takže máme nnásobek množství n mínus 3, vše děleno 2.
Takže zde máme dvě klíčové věci o tomto vzorci, který vám řekne počet úhlopříček a já zkrátím DIAG.
Takže počet úhlopříček, chci poukázat na dvě klíčové věci. První je tato n-3. Odkud pochází n-3? Pokud zde máme pět vrcholů. Vrchol nebudeme počítat to „samo o sobě, protože nemůžete“ nakreslit vrchol, a navíc existují dva další po sobě jdoucí vrcholy pro celkem tři vrcholy v tomto polygonu, které opravdu nepočítáme.
Druhou klíčovou částí je toto dělení na 2. Proč to musíme rozdělit na 2? Pokud se k tomu vrátím na čtverec, podívám-li se na tento vrchol, nakreslil jsem jednu úhlopříčku. Z této vertikální perspektivy jsem nakreslil pouze jednu. Z tohoto pohledu vrcholu jsem nakreslil další úhlopříčku. Ale je to stejná úhlopříčka. Takže každý vrchol a každá úhlopříčka, které čerpáme z vrcholu, budou počítány dvakrát, a proto musíme náš vzorec rozdělit na dvě.