Hoeveel diagonalen is een veelhoek met 300 zijden? Het zou niet erg logisch zijn om een veelhoek met 300 zijden te tekenen en op al die diagonalen te tekenen. Er moet een snelkoppeling of een formule zijn.
Laten we eerst een back-up maken. Wat is een diagonaal? Een diagonaal is elk lijnsegment dat twee niet-opeenvolgende hoekpunten verbindt. Dus als we naar een driehoek kijken. Als ik naar elk hoekpunt kijk, is het hoekpunt opnieuw waar twee uiteinden elkaar ontmoeten en twee zijden samenkomen. Ik kan hier niet op een diagonaal tekenen omdat voor dit hoekpunt beide zijden opeenvolgend zijn. Er is dus geen manier voor ons om diagonalen te hebben.
Als ik echter naar een vierkant kijk, kan ik dat wel zie dat er één niet-opeenvolgend hoekpunt is als ik naar dit hoekpunt kijk. Ik kijk naar een ander hoekpunt, er is maar één niet-opeenvolgend hoekpunt. Dus laten we kijken of we het patroon kunnen achterhalen. Om dat te doen, gebruiken we deze tabel hier waar ik drie kolommen heb: één voor het aantal hoekpunten, één voor het aantal diagonalen per hoekpunt en het totale aantal diagonalen dat we in een veelhoek zien.
We zijn dus al begonnen met twee verschillende polygonen. We hebben het over een driehoek gehad. Dus het aantal hoekpunten in een driehoek goed, dat zijn er maar drie. Het aantal diagonalen dat we zeiden was nul, omdat we geen diagonaal kunnen tekenen. Wat betekent dat onze totale diagonalen nog steeds nul zijn. Oké?
Laten we teruggaan en naar het vierkant kijken. Het vierkant dat we zeiden, er zijn 1, 2, 3, 4 hoekpunten. Dit hoekpunt hier heeft maar één diagonaal, dit hoekpunt hier heeft maar één diagonaal, dus we hebben vier hoekpunten, elk hoekpunt heeft één diagonaal, maar we zien er maar twee. Dus we zien dat er een soort deling zal zijn die hier moet plaatsvinden.
Laten we als laatste kijken naar een vijfhoek. Als ik naar dit hoekpunt kijk, kan ik er een tekenen , twee diagonalen. En ik ga zien dat ik voor elk hoekpunt twee verschillende diagonalen kan tekenen. Het aantal hoekpunten hier is dus vijf, het aantal diagonalen per hoekpunt is twee en het totaal van diagonalen hier hebben we een kleine ster, dus we hebben vijf diagonalen. Dus ik wil eerst weten voor n hoekpunten omdat ik “punt punt punt ga tekenen voor n hoekpunten, wat zal het totale aantal zijn?
Nou, dat zie ik als ik 3 keer 0 vermenigvuldig, dus maken we hier een punt. 3 keer 0 is 0, dus het gaat daar goed. Hier hebben we 4 keer 1, maar dat is niet gelijk aan 2. Dus wat we moeten doen is dat ik 4 keer 1 moet nemen en delen dat in de helft. 5 keer 2 gedeeld door de helft is gelijk aan 5. Dus ik kijk naar het aantal hoekpunten dat we drie hebben, dus we gaan die n noemen. Hier hebben we het aantal diagonalen per hoekpunt, hier hebben we 0, 1 en 2 en ik zie dat om van 3 naar 0 te komen, ik 3 ga aftrekken om van 5 op 1 te komen, ik trek 3 af van 5 naar 2 ik trek af 3. Dus we hebben n keer de hoeveelheid van n min 3 allemaal gedeeld door 2.
Dus twee belangrijke dingen over deze formule hier die je het aantal diagonalen vertelt en ik ga DIAG afkorten.
Dus het aantal diagonalen, er zijn twee belangrijke dingen die ik wil aangeven. De eerste is deze n-3. Waar komt n-3 vandaan? Als we hier vijf hoekpunten hebben. We gaan de hoekpunt niet tellen dat is op zichzelf omdat je geen hoekpunt naar zichzelf kunt tekenen plus er zijn nog twee opeenvolgende hoekpunten voor in totaal drie hoekpunten in deze polygoon die we niet echt tellen.
Het tweede sleutelonderdeel hier is dit delen door 2. Waarom moeten we dit door 2 delen? Als ik hiernaar terug ga naar het vierkant, als ik naar dit hoekpunt kijk, heb ik in één diagonaal getekend. Vanuit het perspectief van deze hoek heb ik er maar één getekend. Vanuit het perspectief van dit hoekpunt heb ik nog een diagonaal getekend. Maar het is dezelfde diagonaal. Dus elk hoekpunt en elke diagonaal die we van een hoekpunt tekenen, wordt tweemaal geteld, daarom moeten we onze formule door twee delen.