Veelhoek
Een veelhoek is een vlakke vorm (tweedimensionaal) met rechte zijden. Voorbeelden zijn onder meer driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken, zeshoeken enzovoort.
Regular
|
A “Regular Polygon “has:
Anders is het onregelmatig. |
|
Hier kijken we alleen naar reguliere polygonen.
Eigenschappen
Dus wat kunnen we weten over regelmatige polygonen? Allereerst kunnen we hoeken uitwerken.
 |
Buitenhoek De buitenhoek is de hoek tussen elke zijde van een vorm, |
Alle buitenhoeken van een polygoon zijn opgeteld 360 °, dus:
Elke buitenhoek moet 360 ° / n zijn
(waarbij n het aantal zijden is)
Druk op de afspeelknop om te zien.
Buitenhoek
(van een normale octagon)
Voorbeeld: Wat is de buitenhoek van een regelmatige achthoek?
Een achthoek heeft 8 zijden, dus:
 |
BinnenhoekenThe Interior Ang le en buitenhoek worden vanaf dezelfde lijn gemeten, dus ze zijn opgeteld 180 °. |
Binnenhoek = 180 ° – Buitenhoek
We kennen de Buitenhoek = 360 ° / n, dus:
Binnenhoek = 180 ° – 360 ° / n
Voorbeeld: wat zijn de binnen- en buitenhoeken van een regelmatige zeshoek?
Een gewone zeshoek heeft 6 zijden, dus:
Buitenhoek = 360 ° / 6 = 60 °
Binnenhoek = 180 ° – 60 ° = 120 °
En nu voor enkele namen:
“Circumcircle, Incircle, Radius and Apothem …”
Klinkt behoorlijk muzikaal als je het een paar keer herhaalt, maar het zijn slechts de namen van de “buitenste” en “binnenste” “cirkels (en elke straal) die op een polygoon als deze kunnen worden getekend:
De “buitenste” cirkel wordt een omgeschreven cirkel genoemd en verbindt alle hoekpunten (hoekpunten) van de veelhoek.
De straal van de omgeschreven cirkel is ook de straal van de veelhoek.
De “binnenste” cirkel wordt een incircle genoemd en raakt elke zijde van de polygoon in het midden ervan.
De straal van de incircle is het apothema van de polygoon.
(Niet alle polygonen hebben deze eigenschappen, maar driehoeken en regelmatige polygonen wel).
Opbreken in T riangles
We kunnen veel leren over regelmatige polygonen door ze op te splitsen in driehoeken zoals dit:
Merk op dat:
- de “basis” van de driehoek één zijde van de veelhoek is.
- de “hoogte” van de driehoek is de “Apothem” van de polygoon
Nu is de oppervlakte van een driehoek de helft van de basistijden de hoogte, dus:
Oppervlakte van een driehoek = basis × hoogte / 2 = zijde × apothem / 2
Om de oppervlakte van de hele polygoon te krijgen, tel je de gebieden van alle kleine driehoeken (“n” ervan) bij elkaar op:
Oppervlakte van polygoon = n × zijde × apothema / 2
En aangezien de omtrek alle zijden = n × zijde is, krijgen we:
Polygoonoppervlak = omtrek × apothema / 2
Een kleinere driehoek
Door de driehoek in tweeën te knippen, krijgen we dit:
( Opmerking: de hoeken zijn in radialen, niet in graden)
De kleine driehoek is rechthoekig en daarom kunnen we sinus, cosinus en tangens gebruiken voor fi en hoe de zijde, straal, apothema en n (aantal zijden) gerelateerd zijn:
Er zijn veel meer soortgelijke relaties (de meeste zijn gewoon ‘herschikkingen’), maar die zijn voldoende voor nu.
Meer gebiedsformules
We kunnen dat gebruiken om het gebied te berekenen als we alleen de apothema kennen:
En er zijn 2 van dergelijke driehoeken per zijde, of 2n voor de hele polygoon:
Polygoonoppervlak = n × Apothem2 × tan (π / n)
Als we de Apothem niet kennen, kunnen we dezelfde formule gebruiken maar herwerkt voor Radius of Side:
Area of Polygon = ½ × n × Radius2 × sin (2 × π / n)
Area of Polygon = ¼ × n × Side2 / tan (π / n)
Een tabel met waarden
En hier is een tabel met Side, Apothem en Area vergeleken met een straal van “1”, met behulp van de formules die we hebben uitgewerkt:
