polygon

En polygon er en plan form (todimensjonal) med rette sider. Eksempler inkluderer trekanter, firkanter, femkanter, sekskanter og så videre.

Vanlig

A «Vanlig polygon «har: alle sider like og alle vinkler like. Ellers er det uregelmessig.

Vanlig Pentagon Uregelmessig Pentagon

Her ser vi bare på vanlige polygoner.

Egenskaper

Så hva kan vi vite om vanlige polygoner? Først og fremst kan vi regne ut vinkler.

Utvendig vinkel Den utvendige vinkelen er vinkelen mellom hvilken som helst side av en form, og en linje utvidet fra neste side.

Alle yttervinklene til en polygon legger opp til 360 °, så:

Hver utvendige vinkel må være 360 ° / n

(hvor n er antall sider)

Trykk på avspillingsknappen for å se.

Innvendige vinkler Interiøret Ang le og utvendig vinkel måles fra samme linje, slik at de legger opp til 180 °.

Innvendig vinkel = 180 ° – utvendig vinkel

Vi vet utvendig vinkel = 360 ° / n, så:

innvendig vinkel = 180 ° – 360 ° / n

Og nå for noen navn:

«Circumcircle, Incircle, Radius and Apothem …»

Høres ganske musikalsk ut hvis du gjentar det noen ganger, men de er bare navnene på det «ytre» og «indre «sirkler (og hver radius) som kan tegnes på en polygon som denne:

Den «ytre» sirkelen kalles en omkrets, og den forbinder alle hjørner (hjørnepunkter) på polygonen.

Radiusen til omkretsen er også polygonens radius.

Den «innvendige» sirkelen kalles en sirkel og den berører bare hver side av polygonet ved midtpunktet.

Radiusen på incircle er polygonets midtpunkt.

(Ikke alle polygoner har disse egenskapene, men trekanter og vanlige polygoner har det.).

Bryter inn i T riangler

Vi kan lære mye om vanlige polygoner ved å bryte dem inn i trekanter som dette:

Legg merke til at:

• «trekantens» base er den ene siden av polygonet.
• «høyden» til trekanten er «Apothem» av polygonen

Nå er arealet til en trekant halvparten av basen ganger høyden, så:

Areal av en trekant = base × høyde / 2 = side × apotem / 2

For å få arealet til hele polygonen, legg bare til områdene til alle de små trekanter («n» av dem):

Areal av polygon = n × side × apothem / 2

Og siden omkretsen er alle sidene = n × side, får vi:

Areal av polygon = omkrets × apothem / 2

En mindre trekant

Ved å kutte trekanten i to får vi dette:

( Merk: Vinklene er i radianer, ikke grader)

Den lille trekanten er rettvinklet og slik at vi kan bruke sinus, cosinus og tangens til fi og hvordan side, radius, apotem og n (antall sider) er relatert:

Det er mange flere forhold som de (de fleste av dem er bare «omarrangementer»), men de vil gjøre for nå.

Flere arealformler

Vi kan bruke det til å beregne arealet når vi bare kjenner Apothem:

Og det er 2 slike trekanter per side, eller 2n for hele polygonet:

Polygonareal = n × Apothem2 × tan (π / n)

Når vi ikke kjenner Apothem, kan vi bruke samme formel men omarbeidet for Radius eller for Side:

Polygonareal = ½ × n × Radius2 × sin (2 × π / n)

Polygonareal = ¼ × n × Side2 / tan (π / n)

En verditabell

Og her er en tabell over Side, Apothem og Areal sammenlignet med en radius på «1», ved å bruke formlene vi har trent: