Hvor mange diagonaler er en polygon med 300 sider? Vel, det ville ikke være veldig fornuftig å tegne en polygon med 300 sider og tegne på alle diagonalene. Det må være en snarvei eller en formel.
Vel, la oss først sikkerhetskopiere. Hva er en diagonal? En diagonal er et hvilket som helst linjesegment som forbinder to ikke-påfølgende hjørner. Så hvis vi ser på en trekant. Hvis jeg ser på hvert eneste toppunkt, er toppunktet igjen der to ender møter to sider. Det er ingen måte for meg å tegne på en diagonal her. For dette toppunktet er begge disse sidene fortløpende. Så det er ingen måte for oss å ha noen diagonaler.
Hvis jeg ser på en firkant, kan jeg se at det er ett toppunkt som ikke er sammenhengende hvis jeg ser på dette toppunktet. Jeg ser på et annet toppunkt der er bare ett toppunkt som ikke er sammenhengende. Så la oss se om vi kan finne ut av mønsteret. For å gjøre det skal vi bruke denne tabellen her hvor jeg har tre kolonner; en for antall hjørner, en for antall diagonaler per toppunkt og totalt antall diagonaler som vi ser i en polygon.
Så vi har allerede startet med to forskjellige polygoner. Vi har snakket om en trekant. Så antall hjørner i en trekant, det er bare tre. Antall diagonaler vi sa var null fordi det ikke er noen måte for oss å tegne en diagonal. Hvilket betyr at våre totale diagonaler fortsatt er null. OK?
La oss gå tilbake og se på firkanten. Firkanten vi sa, det er 1, 2, 3, 4 hjørner. Dette toppunktet her har bare en diagonal, dette toppunktet her har bare en diagonal så vi er fire hjørner, hver toppunkt har en diagonal, men vi ser bare to av dem. Så vi ser at det kommer til å være en slags inndeling som må fortsette her.
Til slutt, la oss se på en femkant. Hvis jeg ser på dette toppunktet, kan jeg tegne inn en , to diagonaler. Og jeg vil se at for hvert toppunkt vil jeg være i stand til å trekke inn, to forskjellige diagonaler. Så antall hjørner her er fem, antall diagonaler per toppunkt er to og totalt diagonaler her har vi en liten stjerne, så vi har fem diagonaler. Så jeg vil først vite om n hjørner fordi jeg skal tegne prikk prikk for n hjørner, hva blir totalt antall?
Vel, jeg ser det hvis jeg multipliserer 3 ganger 0, så lager vi en prikk her. 3 ganger 0 er 0, så vi har det bra. Her har vi 4 ganger 1, men det tilsvarer ikke 2. Så det vi må gjøre er at jeg må ta 4 ganger 1 og dele at i halvparten. 5 ganger 2 delt i halvparten er lik 5. Så jeg ser på antall hjørner vi har tre, så vi skal kalle det n. Her har vi antall diagonaler per toppunkt, her har vi 0, 1 og 2, og jeg ser at for å komme fra 3 til 0 Jeg skal trekke 3 for å komme fra 5 til 1, trekker jeg 3 fra 5 til 2 Jeg trekker fra 3. Så vi har n ganger mengden n minus 3 alle delt på 2.
Så to viktige ting om denne formelen her som forteller deg antall diagonaler, og jeg skal forkorte DIAG.
Så antall diagonaler, det er to viktige ting jeg vil påpeke. Den første er denne n-3. Hvor kommer n-3 fra? Vel, hvis vi har fem hjørner her. Vi kommer ikke til å telle toppunktet det er fordi du ikke kan tegne et toppunkt til seg selv pluss at det er to flere påfølgende hjørner for totalt tre hjørner i denne polygonen som vi egentlig ikke teller.
Den andre viktige delen her er denne divisjonen med 2. Hvorfor må vi dele dette med 2? Hvis jeg går tilbake til dette til torget, hvis jeg ser på dette toppunktet, har jeg tegnet i en diagonal. Fra dette perspektivets perspektiv har jeg bare tegnet en. Fra dette toppunktets perspektiv har jeg tegnet en annen diagonal. Men det er den samme diagonalen. Så hvert toppunkt og hver diagonal som vi tegner fra et toppunkt, telles to ganger, og derfor må vi dele formelen vår med to.