Monikulmio

Monikulmio on tasomuoto (kaksiulotteinen), jolla on suorat sivut. Esimerkkejä ovat kolmio, nelikulmainen, viisikulmio, kuusikulmio ja niin edelleen.

Säännöllinen

A ”Säännöllinen monikulmio ”: kaikki sivut ovat yhtä suuret ja kaikki kulmat ovat yhtä suuret. Muuten se on epäsäännöllinen.

säännöllinen Pentagon epäsäännöllinen Pentagon

Tässä tarkastellaan vain tavallisia polygoneja.

Ominaisuudet

Joten mitä voimme tietää säännölliset polygonit? Ensinnäkin voimme selvittää kulmat.

Ulkokulma Ulkokulma on muodon minkä tahansa sivun seuraavalta puolelta ulotetun viivan välinen kulma.

Kaikki monikulmion ulkokulmat ovat 360 °, joten:

Jokaisen ulkokulman on oltava 360 ° / n

(missä n on sivujen lukumäärä)

Näet painamalla toistopainiketta.

Sisäkulmat Sisätilat Ang le ja ulkokulma mitataan samalta viivalta, joten ne laskevat yhteen 180 °.

Sisäkulma = 180 ° – ulkokulma

Tunnemme ulkokulman = 360 ° / n, joten:

sisäkulma = 180 ° – 360 ° / n

Ja nyt joillekin nimille:

”Ympyrä, ympyrä, säde ja apoteemi …”

Kuulostaa melko musikaaliselta, jos toistat sen muutaman kerran, mutta ne ovat vain ”ulomman” ja ”sisäisemmän” nimiä ”ympyrät (ja kukin säde), jotka voidaan piirtää monikulmioon tällä tavalla:

”Ulko” -ympyrää kutsutaan ympyräksi ja se yhdistää kaikki monikulmion kaikki pisteet (kulmapisteet).

Ympyrän ympyrän säde on myös monikulmion säde.

Sisäpiiriä kutsutaan ympyräksi ja se vain koskettaa monikulmion molempia puolia sen keskipisteessä.

Piirin säde on monikulmion apoteemi.

(Kaikilla polygoneilla ei ole näitä ominaisuuksia, mutta kolmioilla ja tavallisilla polygoneilla on.)

Hajoaminen T: ksi kolmiot

Voimme oppia paljon tavallisista polygoneista jakamalla ne kolmioksi kuten tämä:

Huomaa, että:

• kolmion ”pohja” on monikulmion toinen puoli.
• kolmion ”korkeus” on monikulmion ”Apothem”.

Nyt kolmion pinta-ala on puolet pohja kertaa korkeudesta, joten:

Yhden kolmion alue = pohja × height / 2 = side × apothem / 2

Saadaksesi koko polygonin pinta-alan, lisää vain kaikkien pienten kolmioiden (”n” niistä) alueet:

Polygonin pinta-ala = n × puoli × apoteemi / 2

Ja koska kehä on kaikki sivut = n × puoli, saamme:

Monikulmion alue = kehä × apoteemi / 2

Pienempi kolmio

Leikkaamalla kolmio kahtia saamme tämän:

( Huomaa: Kulmat ovat radiaaneina, ei asteina.

Pieni kolmio on suorakulmainen, joten voimme käyttää sini, kosini ja tangentti fi ja miten sivu, säde, apoteemi ja n (sivujen lukumäärä) liittyvät toisiinsa:

Tällaisia suhteita on paljon enemmän (useimmat vain ”järjestävät uudelleen”), mutta ne sopivat nyt.

Lisää aluekaavoja

Voimme käyttää sitä alueen laskemiseen, kun tunnemme vain Apothem:

Ja kummallakin puolella on 2 tällaista kolmiota, tai 2n koko polygonille:

Monikulmion alue = n × Apothem2 × tan (π / n)

Kun emme tunne Apothemia, voimme käyttää samaa kaavaa mutta työstetty uudelleen säteen tai sivun suhteen:

Polygonin alue = ½ × n × säde2 × sin (2 × π / n)

Polygonin alue = ¼ × n × Side2 / tan (π / n)

Arvotaulukko

Ja tässä on taulukko Side-, Apothem- ja Area-alueista verrattuna ”1” -säteeseen käyttämällä kaavoja ovat työskennelleet: