¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 300 lados? Bueno, no tendría mucho sentido dibujar un polígono con 300 lados y dibujar todas esas diagonales. Tiene que haber un atajo o una fórmula.
Bueno, primero retrocedamos. ¿Qué es una diagonal? Una diagonal es cualquier segmento de línea que conecta dos vértices no consecutivos. Entonces, si miramos un triángulo. Si miro cada uno de los vértices, nuevamente el vértice es donde dos extremos se encuentran con dos lados. No hay forma de que dibuje en una diagonal aquí porque para este vértice ambos lados son consecutivos. Así que no hay forma de que tengamos diagonales.
Sin embargo, si miro un cuadrado, puedo veo que hay un vértice no consecutivo si miro este vértice. Miro otro vértice, sólo hay un vértice no consecutivo. Así que veamos si podemos averiguar el patrón. Para hacer eso, vamos a usar esta tabla de aquí donde tengo tres columnas; una para el número de vértices, una para el número de diagonales por vértice y el número total de diagonales que vemos en un polígono.
Así que ya comenzamos con dos polígonos diferentes. Hemos hablado de un triángulo. Entonces, número de vértices en un triángulo, eso es solo tres. El número de diagonales que dijimos era cero porque no hay forma de que dibujemos una diagonal. Lo que significa que nuestras diagonales totales siguen siendo cero. ¿De acuerdo?
Regresemos y miremos el cuadrado. El cuadrado que dijimos, hay 1, 2, 3, 4 vértices. Este vértice de aquí tiene solo una diagonal, este vértice de aquí tiene solo una diagonal, así que somos cuatro vértices, cada vértice tiene una diagonal pero solo vemos dos de ellos. Vemos que va a haber algún tipo de división que tendrá que continuar aquí.
Por último, veamos un pentágono. Si miro este vértice, puedo dibujar en uno , dos diagonales. Y voy a ver que para cada vértice, voy a poder dibujar dos diagonales diferentes. Así que el número de vértices aquí es cinco, el número de diagonales por vértice es dos y el total de diagonales aquí tenemos una pequeña estrella, así que tenemos cinco diagonales. Así que quiero saber primero para n vértices porque voy a dibujar punto punto punto para n vértices, ¿cuál será el número total?
Bueno, veo que si multiplico 3 por 0, entonces hacemos un punto aquí. 3 por 0 es 0, así que estamos bien allí. Aquí tenemos 4 por 1, pero eso no es igual a 2. Entonces, lo que vamos a tener que hacer es tomar 4 por 1 y dividir 5 veces 2 dividido por la mitad es igual a 5. Así que miro el número de vértices que tenemos tres, así que lo llamaremos n. Aquí tenemos número de diagonales por vértice, aquí tenemos 0, 1 y 2 y veo que para llegar de 3 a 0 voy a restar 3 para obtener de 5 a 1, resto 3 de 5 a 2 resto 3. Entonces, tenemos n veces la cantidad de n menos 3, todo dividido por 2.
Entonces, dos cosas clave acerca de esta fórmula aquí mismo que te dice el número de diagonales y voy a abreviar DIAG.
Entonces el número de diagonales, hay dos cosas clave que quiero señalar. La primera es este n-3. ¿De dónde viene n-3? Bueno, si tenemos cinco vértices aquí. No vamos a contar el vértice eso es en sí mismo porque no se puede dibujar un vértice a sí mismo y además hay dos vértices consecutivos más para un total de tres vértices en este polígono que realmente no estamos contando.
La segunda parte clave aquí es esta división por 2. ¿Por qué tenemos que dividir esto por 2? Si vuelvo a esto al cuadrado, si miro este vértice, he dibujado en una diagonal. Desde la perspectiva de este vértice, solo he dibujado uno. Desde la perspectiva de este vértice, he dibujado otra diagonal. Pero es la misma diagonal. Así que cada vértice y cada diagonal que dibujemos de un vértice se contará dos veces, por eso tenemos que dividir nuestra fórmula por dos.
