Sannolikhetsfördelning

Materie och fotoner är vågor, vilket antyder att de är spridda över ett visst avstånd. Vad är positionen för en partikel, såsom en elektron? Är det mitt i vågen? Svaret ligger i hur du mäter en elektrons position. Experiment visar att du hittar elektronen på någon bestämd plats, till skillnad från en våg. Men om du ställer in exakt samma situation och mäter den igen, hittar du elektronen på en annan plats, ofta långt utanför all experimentell osäkerhet i din mätning. Upprepade mätningar visar en statistisk fördelning av platser som verkar vågaktiga. (Se figur 1.)

Efter att de Broglie föreslog vågens natur, har många fysiker, inklusive Schrödinger och Heisenberg, undersökte konsekvenserna. Idén uppstod snabbt att, på grund av sin vågkaraktär, kan en partikels bana och destination inte förutsägas exakt för varje partikel individuellt. Varje partikel går dock till en bestämd plats (som illustreras i figur 1). Efter att ha sammanställt tillräckligt med data får du en fördelning relaterad till partikelns våglängd och diffraktionsmönster. Det finns en viss sannolikhet att hitta partikeln på en given plats, och det övergripande mönstret kallas en sannolikhetsfördelning. De som utvecklade kvantmekanik utvecklade ekvationer som förutsade sannolikhetsfördelningen under olika omständigheter.

Det är lite oroande att tro att du inte kan förutsäga exakt vart en enskild partikel kommer att gå eller till och med följa den till sin destination. Låt oss utforska vad som händer om vi försöker följa en partikel. Tänk på de dubbla slitsmönstren som erhållits för elektroner och fotoner i figur 2. Först noterar vi att dessa mönster är identiska, efter d sin θ = mλ, ekvationen för dubbel slits konstruktiv interferens utvecklad i fotonenergier och det elektromagnetiska spektrumet, där d är slitseparationen och λ är elektron- eller fotonvåglängden.

Båda mönstren byggs upp statistiskt när enskilda partiklar faller på detektorn. Detta kan observeras för fotoner eller elektroner – för nu, låt oss koncentrera oss på elektroner. Du kan föreställa dig att elektronerna stör varandra som alla vågor gör. För att testa detta kan du sänka intensiteten tills det aldrig finns mer än en elektron mellan slitsarna och skärmen. Samma störningsmönster byggs upp! Detta innebär att en partikels sannolikhetsfördelning sträcker sig över båda slitsarna och partiklarna faktiskt stör sig själva. Betyder detta också att elektronen går igenom båda slitsarna? En elektron är en grundenhet av materia som inte är delbar. Men det är en rättvis fråga, och därför bör vi se om elektronen passerar en eller en slits eller båda. En möjlighet är att ha spolar runt slitsarna som upptäcker laddningar som rör sig genom dem. Vad som observeras är att en elektron alltid går igenom den ena slitsen eller den andra; det delas inte för att gå igenom båda. Men det finns en fångst. Om du bestämmer att elektronen gick igenom en av slitsarna får du inte längre ett dubbelt slitsmönster – istället får du enstaka slitsstörningar. Det finns ingen flykt genom att använda en annan metod för att bestämma vilken slits elektronen gick igenom. Att veta att partikeln gick igenom en slits tvingar ett mönster med en slits. Om du inte observerar vilken slits elektronen går igenom får du ett dubbelt slitsmönster.

Heisenbergs osäkerhet

Hur förändrar mönstret att veta vilken slits elektronen passerar genom? Svaret är grundläggande viktigt – mätning påverkar systemet som observeras. Information kan gå förlorad och i vissa fall är det omöjligt att mäta två fysiska mängder samtidigt till exakt precision. Du kan till exempel mäta positionen för en rörlig elektron genom att sprida ljus eller andra elektroner från den.Dessa sönder har själva fart, och genom att sprida sig från elektronen ändrar de sin dynamik på ett sätt som förlorar information. Det finns en gräns för absolut kunskap, även i princip.

Det var Werner Heisenberg som först uppgav denna gräns för kunskap 1929 som ett resultat av sitt arbete med kvantmekanik och vågegenskaper hos alla partiklar . (Se figur 3). Specifikt, överväg att samtidigt mäta en elektrons position och momentum (det kan vara vilken partikel som helst). Det finns en osäkerhet i position Δx som är ungefär lika med partikelns våglängd. Det vill säga Δx ≈ λ.

Som diskuterats ovan ligger en våg inte vid en punkt i rymden. Om elektronens position mäts upprepade gånger kommer en spridning på platser att observeras, vilket innebär en osäkerhet i position Δx. För att detektera partikelns position måste vi interagera med den, som att låta den kollidera med en detektor. Vid kollisionen kommer partikeln att tappa fart. Denna förändring i momentum kan vara var som helst från nära till noll till partikelns totala moment, p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Det är inte möjligt att avgöra hur mycket momentum som kommer att överföras till en detektor, och det finns också en osäkerhet i momentum Δp. Faktum är att osäkerheten i momentum kan vara lika stor som själva momentumet, vilket i ekvationsform betyder att \ Delta {p} \ approx \ frac {h} {\ lambda} \\.

Osäkerheten i position kan reduceras med användning av en elektron med kortare våglängd, eftersom Δx ≈ λ. Men att förkorta våglängden ökar osäkerheten i momentum, eftersom p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Omvänt kan osäkerheten i momentum minskas genom att använda en elektron med längre våglängd, men detta ökar osäkerheten i position. Matematiskt kan du uttrycka denna avvägning genom att multiplicera osäkerheterna. Våglängden avbryts och lämnar ΔxΔp ≈ h.

Så om en osäkerhet minskas måste den andra öka så att deras produkt blir ≈h.

Detta kallas Heisenbergs osäkerhetsprincip . Det är omöjligt att mäta position x och momentum p samtidigt med osäkerheter Δx och Δp som multipliceras för att vara mindre än \ frac {h} {4 \ pi} \\. Varken osäkerheten kan vara noll. Varken osäkerheten kan bli liten utan att den andra blir stor. En liten våglängd möjliggör noggrann positionsmätning, men det ökar sondens moment till den punkt att det stör störningen i ett system som mäts. Till exempel, om en elektron sprids från en atom och har en våglängd som är tillräckligt liten för att detektera elektronernas position i atomen, kan dess momentum slå elektronerna från sina banor på ett sätt som förlorar information om deras ursprungliga rörelse. Det är därför omöjligt att följa en elektron i sin bana runt en atom. Om du mäter elektronens position hittar du den på en bestämd plats, men atomen kommer att störas. Upprepade mätningar på identiska atomer kommer att ge intressanta sannolikhetsfördelningar för elektroner runt atomen, men de kommer inte att producera rörelseinformation. Sannolikhetsfördelningarna kallas elektronmoln eller orbitaler. Formerna på dessa orbitaler visas ofta i allmänna kemitexter och diskuteras i The Wave Nature of Matter Causes Quantization.

Varför märker vi inte Heisenbergs osäkerhetsprincip i vardagen? Svaret är att Plancks konstant är väldigt liten. Således är den nedre gränsen för osäkerheten att mäta positionen och momentet för stora föremål försumbar. Vi kan upptäcka solljus som reflekteras från Jupiter och följa planeten i sin omloppsbana runt solen. Det reflekterade solljuset förändrar momentet hos Jupiter och skapar en osäkerhet i dess momentum, men detta är helt försumbar jämfört med Jupiters enorma momentum. Korrespondensprincipen berättar att kvantmekanikens förutsägelser blir oskiljbara från klassisk fysik för stora objekt, vilket är fallet här.

Heisenberg Osäkerhet för energi och tid

Det finns en annan form av Heisenbergs osäkerhetsprincip för samtidiga mätningar av energi och tid. I form av ekvation, \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, där ΔE är osäkerheten i energi och Δt är osäkerheten i tiden.Det betyder att det inom ett tidsintervall Δt inte är möjligt att mäta energi exakt – det kommer att finnas en osäkerhet ΔE i mätningen. För att mäta energi mer exakt (för att göra ΔE mindre) måste vi öka Δt. Detta tidsintervall kan vara den tid vi tar för att göra mätningen, eller det kan vara den tid ett visst tillstånd existerar, som i nästa exempel 2.

Osäkerhetsprincipen för energi och tid kan ha stor betydelse om ett systems livslängd är mycket kort. Då är Δt mycket liten, och ΔE är följaktligen mycket stor. Vissa kärnor och exotiska partiklar har extremt korta livstider (så små som 10−25 s), vilket orsakar osäkerhet i energi lika mycket som många GeV (109 eV). Lagrad energi framstår som ökad vilmassa, och det betyder att det finns betydande osäkerhet i vilmassan hos kortlivade partiklar. Vid upprepad mätning erhålls en spridning av massor eller förfallsenergier. Spridningen är ΔE. Du kanske frågar om denna osäkerhet i energi kan undvikas genom att inte mäta livslängden. Svaret är nej. Naturen känner till livstiden, och dess korthet påverkar partikelns energi. Detta är så väl etablerat experimentellt att osäkerheten i förfallsenergi används för att beräkna livslängden för kortlivade tillstånd. Vissa kärnor och partiklar är så kortlivade att det är svårt att mäta deras livstid. Men om deras förfallsenergi kan mätas, är dess spridning ΔE, och detta används i osäkerhetsprincipen \ left (\ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \ höger) \\ för att beräkna livslängden At.

Det finns en annan konsekvens av osäkerhetsprincipen för energi och tid. Om energi är osäker av ΔE kan energibesparingen brytas av ΔE under en tid Δt. Varken fysikern eller naturen kan säga att energibesparingen har kränkts, om kränkningen är tillfällig och mindre än osäkerheten i energi. Även om detta låter oskyldigt nog kommer vi att se i senare kapitel att det tillåter tillfällig skapande av materia från ingenting och har konsekvenser för hur naturen överför krafter över mycket små avstånd.

Slutligen notera att i diskussionen om partiklar och vågor har vi sagt att enskilda mätningar ger exakta eller partikelliknande resultat. En bestämd position bestäms varje gång vi till exempel observerar en elektron. Men upprepade mätningar ger en spridning i värden som överensstämmer med vågegenskaperna. Den stora teoretiska fysikern Richard Feynman (1918–1988) kommenterade: ”Det som finns är partiklar.” När du observerar tillräckligt mycket av dem fördelar de sig som du förväntar dig för ett vågfenomen. Men vad som finns när de reser kan vi inte berätta för, när vi försöker mäta påverkar vi resan.

Avsnitt Sammanfattning

• Materie har samma störningsegenskaper som alla andra vågor.
• Det finns nu en sannolikhetsfördelning för placeringen av en partikel snarare än en bestämd position.
• En annan konsekvens av vågkaraktären hos alla partiklar är Heisenbergs osäkerhetsprincip, som begränsar precisionen med vilken vissa fysiska storheter kan kännas samtidigt. För position och momentum är osäkerhetsprincipen \ Delta { x} \ Delta {p} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, där Δx är osäkerheten i position och Δp är osäkerheten i momentum.
• För energi och tid är osäkerhetsprincipen är \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\ därΔE är osäkerheten i energi ochΔt är osäkerheten i tiden.
• Dessa små gränser är grundläggande viktiga på kvantmekanisk skala.

Ordlista

Heisenbergs osäkerhetsprincip: en grundläggande gräns för precision med vilka mängderpar (momentum och position och energi och tid) kan mätas

osäkerhet i energi: brist på precision eller brist på kunskap om exakta resultat i mätningar av energi

osäkerhet i tid: brist på precision eller brist på kunskap om exakta resultat i mätningar av tid

osäkerhet i momentum: brist på precision eller brist på kunskap om exakta resultat i mätningar av momentum

osäkerhet i position: brist på precision eller brist på kunskap om exakta resultat i mätningar av position

sannolikhetsfördelning: den totala rumsliga fördelningen av sannolikheter för att hitta en partikel på en given plats