Sannsynlighetsfordeling

Saken og fotoner er bølger, og antyder at de er spredt over en viss avstand. Hva er posisjonen til en partikkel, for eksempel et elektron? Er det i sentrum av bølgen? Svaret ligger i hvordan du måler posisjonen til et elektron. Eksperimenter viser at du vil finne elektronet på et bestemt sted, i motsetning til en bølge. Men hvis du setter opp nøyaktig den samme situasjonen og måler den igjen, vil du finne elektronet på et annet sted, ofte langt utenfor enhver eksperimentell usikkerhet i målingen. Gjentatte målinger vil vise en statistisk fordeling av steder som virker bølgelignende. (Se figur 1.)

Etter at de Broglie foreslo bølgenaturen til materie, var det mange fysikere, inkludert Schrödinger og Heisenberg, utforsket konsekvensene. Tanken kom raskt fram at på grunn av sin bølgekarakter kan ikke en partikels bane og destinasjon presiseres nøyaktig for hver partikkel individuelt. Imidlertid går hver partikkel til et bestemt sted (som illustrert i figur 1). Etter å ha samlet nok data, får du en fordeling relatert til partikkelens bølgelengde og diffraksjonsmønster. Det er en viss sannsynlighet for å finne partikkelen på et gitt sted, og det generelle mønsteret kalles en sannsynlighetsfordeling. De som utviklet kvantemekanikk utviklet ligninger som forutsa sannsynlighetsfordelingen under forskjellige omstendigheter.

Det er litt foruroligende å tro at du ikke kan forutsi nøyaktig hvor en individuell partikkel vil gå, eller til og med følge den til destinasjonen. La oss utforske hva som skjer hvis vi prøver å følge en partikkel. Tenk på dobbeltspaltede mønstre oppnådd for elektroner og fotoner i figur 2. Først bemerker vi at disse mønstrene er identiske, etter d sin θ = mλ, ligningen for dobbel spaltet konstruktiv interferens utviklet i fotonenergier og det elektromagnetiske spektrum, der d er spalteseparasjonen og λ er elektron- eller fotonbølgelengden.

Begge mønstrene bygger seg opp statistisk når individuelle partikler faller på detektoren. Dette kan observeres for fotoner eller elektroner – for nå, la oss konsentrere oss om elektroner. Du kan forestille deg at elektronene forstyrrer hverandre som alle bølger. For å teste dette kan du senke intensiteten til det aldri er mer enn ett elektron mellom spaltene og skjermen. Det samme interferensmønsteret bygger seg opp! Dette innebærer at en partikkels sannsynlighetsfordeling spenner over begge spaltene, og partiklene faktisk forstyrrer seg selv. Betyr dette også at elektronet går gjennom begge spaltene? Et elektron er en grunnleggende materieenhet som ikke er delelig. Men det er et rettferdig spørsmål, og derfor bør vi se på om elektronet krysser den ene spalten eller den andre, eller begge deler. En mulighet er å ha spoler rundt spaltene som oppdager ladninger som beveger seg gjennom dem. Det som observeres er at et elektron alltid går gjennom den ene spalten eller den andre; det splittes ikke for å gå gjennom begge deler. Men det er en fangst. Hvis du bestemmer at elektronet gikk gjennom en av spaltene, får du ikke lenger et dobbelt spaltemønster – i stedet får du forstyrrelse av en enkelt spalte. Det er ingen flukt ved å bruke en annen metode for å bestemme hvilken spalte elektronen gikk gjennom. Å vite at partikkelen gikk gjennom en spalte tvinger et mønster med en spalte. Hvis du ikke observerer hvilken spalte elektronen går gjennom, får du et dobbeltspalt mønster.

Heisenberg Usikkerhet

Hvordan endrer mønsteret å vite hvilken spalte elektronet passerte gjennom? Svaret er grunnleggende viktig – måling påvirker systemet som blir observert. Informasjon kan gå tapt, og i noen tilfeller er det umulig å måle to fysiske størrelser samtidig til nøyaktig presisjon. For eksempel kan du måle posisjonen til et bevegelig elektron ved å spre lys eller andre elektroner fra det.Disse sonderne har fart fremover, og ved å spre seg fra elektronen, endrer de sin fremdrift på en måte som mister informasjon. Det er en grense for absolutt kunnskap, selv i prinsippet.

Det var Werner Heisenberg som først uttalt denne grensen for kunnskap i 1929 som et resultat av sitt arbeid med kvantemekanikk og bølgefunksjonene til alle partikler . (Se figur 3). Tenk spesifikt på å måle posisjonen og momentet til et elektron samtidig (det kan være hvilken som helst partikkel). Det er en usikkerhet i posisjon Δx som er omtrent lik bølgelengden til partikkelen. Det vil si Δx ≈ λ.

Som diskutert ovenfor, er en bølge ikke plassert på ett punkt i rommet. Hvis elektronens posisjon måles gjentatte ganger, vil en spredning på steder bli observert, noe som medfører en usikkerhet i posisjon Δx. For å oppdage partikkelens posisjon, må vi samhandle med den, for eksempel å ha den kollidert med en detektor. Ved kollisjonen vil partikkelen miste fart. Denne endringen i momentum kan være hvor som helst fra nær null til partikkelens totale momentum, p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Det er ikke mulig å fortelle hvor mye momentum som vil overføres til en detektor, og det er derfor en usikkerhet i momentum Δp også. Usikkerheten i momentum kan faktisk være like stor som selve momentumet, som i ligningsform betyr at \ Delta {p} \ approx \ frac {h} {\ lambda} \\.

Usikkerheten i posisjon kan reduseres ved å bruke et elektron med kortere bølgelengder, siden Δx ≈ λ. Men å forkorte bølgelengden øker usikkerheten i momentum, siden p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Motsatt kan usikkerheten i momentum reduseres ved å bruke et elektron med lengre bølgelengde, men dette øker usikkerheten i posisjon. Matematisk kan du uttrykke denne kompromisset ved å multiplisere usikkerheten. Bølgelengden avbrytes og etterlater ΔxΔp ≈ h.

Så hvis den ene usikkerheten reduseres, må den andre øke slik at produktet deres er ≈h.

Dette er kjent som Heisenberg usikkerhetsprinsippet . Det er umulig å måle posisjon x og momentum p samtidig med usikkerhet Δx og Δp som multipliserer til å være mindre enn \ frac {h} {4 \ pi} \\. Verken usikkerhet kan være null. Verken usikkerhet kan bli liten uten at den andre blir stor. En liten bølgelengde tillater nøyaktig posisjonsmåling, men det øker sondens momentum til det punktet at det forstyrrer fremdriften til et system som måles ytterligere. For eksempel, hvis et elektron er spredt fra et atom og har en bølgelengde som er liten nok til å oppdage posisjonen til elektroner i atomet, kan momentet slå elektronene fra banene på en måte som mister informasjon om deres opprinnelige bevegelse. Det er derfor umulig å følge et elektron i sin bane rundt et atom. Hvis du måler elektronens posisjon, vil du finne den på et bestemt sted, men atomet vil bli forstyrret. Gjentatte målinger på identiske atomer vil gi interessante sannsynlighetsfordelinger for elektroner rundt atomet, men de vil ikke produsere bevegelsesinformasjon. Sannsynlighetsfordelingene blir referert til som elektronskyer eller orbitaler. Formene på disse orbitalene vises ofte i generelle kjemitekster og blir diskutert i The Wave Nature of Matter Causes Quantization.

Hvorfor merker vi ikke Heisenbergs usikkerhetsprinsipp i hverdagen? Svaret er at Plancks konstant er veldig liten. Dermed er den nedre grensen i usikkerheten om å måle posisjonen og momentet til store objekter ubetydelig. Vi kan oppdage sollys reflektert fra Jupiter og følge planeten i sin bane rundt solen. Det reflekterte sollyset endrer fremdriften til Jupiter og skaper en usikkerhet i dens fremdrift, men dette er helt ubetydelig sammenlignet med Jupiters enorme momentum. Korrespondanseprinsippet forteller oss at spådommer fra kvantemekanikk ikke skiller seg fra klassisk fysikk for store gjenstander, noe som er tilfelle her.

Heisenberg Usikkerhet for energi og tid

Det er en annen form av Heisenbergs usikkerhetsprinsipp for samtidige målinger av energi og tid. I ligningsform, \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, der ΔE er usikkerheten i energi og Δt er usikkerheten i tid.Dette betyr at det innen et tidsintervall Δt ikke er mulig å måle energi nøyaktig – det vil være en usikkerhet ΔE i målingen. For å måle energi mer presist (for å gjøre ΔE mindre), må vi øke Δt. Dette tidsintervallet kan være hvor lang tid vi tar for å foreta målingen, eller det kan være hvor lang tid en bestemt tilstand eksisterer, som i neste eksempel 2.

Usikkerhetsprinsippet for energi og tid kan ha stor betydning hvis levetiden til et system er veldig kort. Da er Δt veldig liten, og ΔE er følgelig veldig stor. Noen kjerner og eksotiske partikler har ekstremt korte levetider (så små som 10−25 s), og forårsaker usikkerhet i energi like stor som mange GeV (109 eV). Lagret energi fremstår som økt hvilemasse, og dette betyr at det er betydelig usikkerhet i hvilemassen til kortlivede partikler. Når det måles gjentatte ganger, oppnås en spredning av masser eller forfallsenergier. Spredningen er ΔE. Du kan spørre deg om denne usikkerheten i energi kan unngås ved ikke å måle levetiden. Svaret er nei. Naturen kjenner levetiden, og dets korthet påvirker partikkelens energi. Dette er så godt etablert eksperimentelt at usikkerheten i forfallsenergi brukes til å beregne levetiden til kortvarige tilstander. Noen kjerner og partikler er så kortvarige at det er vanskelig å måle levetiden. Men hvis deres forfallsenergi kan måles, er spredningen ΔE, og dette brukes i usikkerhetsprinsippet \ left (\ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \ right) \\ for å beregne levetiden Δt.

Det er en annen konsekvens av usikkerhetsprinsippet for energi og tid. Hvis energi er usikker av ΔE, kan bevaring av energi brytes av ΔE for en tid Δt. Verken fysikeren eller naturen kan fortelle at energibesparelse har blitt brutt, hvis bruddet er midlertidig og mindre enn usikkerheten i energi. Selv om dette høres uskadelig nok ut, vil vi se i senere kapitler at det tillater midlertidig opprettelse av materie fra ingenting og har implikasjoner for hvordan naturen overfører krefter over veldig små avstander.

Merk til slutt at i diskusjonen om partikler og bølger, har vi uttalt at individuelle målinger gir presise eller partikkelignende resultater. En bestemt posisjon bestemmes hver gang vi for eksempel observerer et elektron. Men gjentatte målinger gir en spredning i verdier som er i samsvar med bølgeegenskapene. Den store teoretiske fysikeren Richard Feynman (1918–1988) kommenterte: «Det som er, er partikler.» Når du observerer nok av dem, fordeler de seg slik du forventer for et bølgefenomen. Det som er mens de reiser, kan vi imidlertid ikke fortelle fordi når vi prøver å måle, påvirker vi reisen.

Seksjonsoppsummering

• Saken er funnet å ha de samme interferensegenskapene som alle andre bølger.
• Det er nå en sannsynlighetsfordeling for plasseringen av en partikkel i stedet for en bestemt posisjon.
• En annen konsekvens av bølgekarakteren til alle partikler er Heisenberg usikkerhetsprinsippet, som begrenser presisjonen som visse fysiske størrelser kan kjennes samtidig. For posisjon og momentum er usikkerhetsprinsippet \ Delta { x} \ Delta {p} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, der Δx er usikkerheten i posisjon og Δp er usikkerheten i momentum.
• For energi og tid er usikkerhetsprinsippet er \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\ derΔE er usikkerheten i energi ogΔt er usikkerheten i tid.
• Disse små grensene er grunnleggende viktige på kvantemekanisk skala.

Ordliste

Heisenbergs usikkerhetsprinsipp: en grunnleggende grense for presisjonen som par med størrelser (momentum og posisjon, og energi og tid) kan måles

usikkerhet i energi: mangel på presisjon eller mangel på kunnskap om nøyaktige resultater i målinger av energi

usikkerhet i tid: mangel på presisjon eller mangel på kunnskap om presise resultater i målinger av tid

usikkerhet i momentum: mangel på presisjon eller manglende kunnskap om nøyaktige resultater i målinger av momentum

usikkerhet i posisjon: mangel på presisjon eller mangel på kunnskap om presise resultater i målinger av posisjon

sannsynlighetsfordeling: den totale romlige fordelingen av sannsynligheter for å finne en partikkel på et gitt sted