Distribuição de probabilidade

Matéria e os fótons são ondas, o que significa que estão espalhados por uma certa distância. Qual é a posição de uma partícula, como um elétron? Está no centro da onda? A resposta está em como você mede a posição de um elétron. Experimentos mostram que você encontrará o elétron em algum local definido, ao contrário de uma onda. Mas se você configurar exatamente a mesma situação e medi-la novamente, encontrará o elétron em uma localização diferente, muitas vezes muito fora de qualquer incerteza experimental em sua medição. Medições repetidas exibirão uma distribuição estatística de locais que aparecem como ondas. (Veja a Figura 1.)

Depois que de Broglie propôs a natureza de onda da matéria, muitos físicos, incluindo Schrödinger e Heisenberg, explorou as consequências. Rapidamente surgiu a ideia de que, por causa de seu caráter de onda, a trajetória e o destino de uma partícula não podem ser previstos com precisão para cada partícula individualmente. No entanto, cada partícula vai para um lugar definido (conforme ilustrado na Figura 1). Depois de compilar dados suficientes, você obtém uma distribuição relacionada ao comprimento de onda da partícula e padrão de difração. Existe uma certa probabilidade de encontrar a partícula em um determinado local, e o padrão geral é chamado de distribuição de probabilidade. Aqueles que desenvolveram a mecânica quântica conceberam equações que previam a distribuição de probabilidade em várias circunstâncias.

É um tanto inquietante pensar que você não pode prever exatamente para onde uma partícula individual irá, ou mesmo segui-la até seu destino. Vamos explorar o que acontece se tentarmos seguir uma partícula. Considere os padrões de dupla fenda obtidos para elétrons e fótons na Figura 2. Primeiro, notamos que esses padrões são idênticos, seguindo d sin θ = mλ, a equação para interferência construtiva de dupla fenda desenvolvida nas Energias de Fótons e no Espectro Eletromagnético, onde d é a separação da fenda e λ é o comprimento de onda do elétron ou fóton.

Ambos os padrões são construídos estatisticamente à medida que partículas individuais caem o detector. Isso pode ser observado para fótons ou elétrons – por enquanto, vamos nos concentrar nos elétrons. Você pode imaginar que os elétrons estão interferindo uns com os outros como qualquer onda. Para testar isso, você pode diminuir a intensidade até que nunca haja mais de um elétron entre as fendas e a tela. O mesmo padrão de interferência se acumula! Isso implica que a distribuição de probabilidade de uma partícula abrange ambas as fendas, e as partículas realmente interferem com elas mesmas. Isso também significa que o elétron passa por ambas as fendas? Um elétron é uma unidade básica de matéria que não é divisível. Mas é uma pergunta justa e, portanto, devemos verificar se o elétron atravessa uma fenda ou outra, ou ambas. Uma possibilidade é ter bobinas ao redor das fendas que detectam cargas se movendo através delas. O que se observa é que um elétron sempre passa por uma fenda ou outra; não se divide para passar por ambos. Mas há um porém. Se você determinar que o elétron passou por uma das fendas, não obterá mais um padrão de fenda dupla – em vez disso, obterá interferência de fenda única. Não há como escapar usando outro método para determinar por qual fenda o elétron passou. Saber que a partícula passou por uma fenda força um padrão de fenda única. Se você não observar por qual fenda o elétron passa, obterá um padrão de fenda dupla.

Incerteza de Heisenberg

Como saber por qual fenda o elétron passou muda o padrão? A resposta é fundamentalmente importante – a medição afeta o sistema que está sendo observado. As informações podem ser perdidas e, em alguns casos, é impossível medir duas grandezas físicas simultaneamente com precisão exata. Por exemplo, você pode medir a posição de um elétron em movimento espalhando luz ou outros elétrons dele.Essas sondas têm momento próprio e, ao se espalharem do elétron, mudam seu momento de uma maneira que perde informações. Há um limite para o conhecimento absoluto, mesmo em princípio.

Foi Werner Heisenberg quem primeiro declarou este limite ao conhecimento em 1929 como resultado de seu trabalho sobre mecânica quântica e as características de onda de todas as partículas . (Veja a Figura 3). Especificamente, considere medir simultaneamente a posição e o momento de um elétron (pode ser qualquer partícula). Existe uma incerteza na posição Δx que é aproximadamente igual ao comprimento de onda da partícula. Ou seja, Δx ≈ λ.

Conforme discutido acima, uma onda não está localizada em um ponto no espaço. Se a posição do elétron for medida repetidamente, uma dispersão em locais será observada, implicando em uma incerteza na posição Δx. Para detectar a posição da partícula, devemos interagir com ela, como fazê-la colidir com um detector. Na colisão, a partícula perderá impulso. Esta mudança no momento pode ser em qualquer lugar perto de zero ao momento total da partícula, p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Não é possível dizer quanto momento será transferido para um detector e, portanto, também há uma incerteza no momento Δp. Na verdade, a incerteza no momento pode ser tão grande quanto o próprio momento, o que na forma de equação significa que \ Delta {p} \ aprox \ frac {h} {\ lambda} \\.

A incerteza na posição pode ser reduzida usando um elétron de comprimento de onda mais curto, uma vez que Δx ≈ λ. Mas encurtar o comprimento de onda aumenta a incerteza no momento, pois p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Por outro lado, a incerteza no momento pode ser reduzida usando um elétron de comprimento de onda mais longo, mas isso aumenta a incerteza na posição. Matematicamente, você pode expressar essa compensação multiplicando as incertezas. O comprimento de onda é cancelado, deixando ΔxΔp ≈ h.

Portanto, se uma incerteza for reduzida, a outra deve aumentar para que seu produto seja ≈h.

Isso é conhecido como o princípio da incerteza de Heisenberg . É impossível medir a posição xe o momento p simultaneamente com as incertezas Δx e Δp que se multiplicam para serem menores que \ frac {h} {4 \ pi} \\. Nenhuma das incertezas pode ser zero. Nenhuma das incertezas pode se tornar pequena sem que a outra se torne grande. Um pequeno comprimento de onda permite a medição precisa da posição, mas aumenta o momento da sonda a ponto de perturbar ainda mais o momento do sistema que está sendo medido. Por exemplo, se um elétron é espalhado de um átomo e tem um comprimento de onda pequeno o suficiente para detectar a posição dos elétrons no átomo, seu momento pode derrubar os elétrons de suas órbitas de uma maneira que perde informações sobre seu movimento original. Portanto, é impossível seguir um elétron em sua órbita ao redor de um átomo. Se você medir a posição do elétron, você o encontrará em uma localização definida, mas o átomo será interrompido. Medições repetidas em átomos idênticos produzirão distribuições de probabilidade interessantes para elétrons ao redor do átomo, mas não produzirão informações de movimento. As distribuições de probabilidade são conhecidas como nuvens de elétrons ou orbitais. As formas desses orbitais são frequentemente mostradas em textos de química geral e são discutidas em The Wave Nature of Matter Causes Quantization.

Por que não percebemos o princípio da incerteza de Heisenberg na vida cotidiana? A resposta é que a constante de Planck é muito pequena. Assim, o limite inferior na incerteza de medir a posição e o momento de objetos grandes é desprezível. Podemos detectar a luz solar refletida de Júpiter e seguir o planeta em sua órbita ao redor do sol. A luz solar refletida altera o momento de Júpiter e cria uma incerteza em seu momento, mas isso é totalmente insignificante em comparação com o enorme momento de Júpiter. O princípio da correspondência nos diz que as previsões da mecânica quântica se tornam indistinguíveis da física clássica para objetos grandes, o que é o caso aqui.

Incerteza de Heisenberg para energia e tempo

Há outra forma do princípio da incerteza de Heisenberg para medições simultâneas de energia e tempo. Na forma de equação, \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, onde ΔE é a incerteza na energia e Δt é a incerteza no tempo.Isso significa que dentro de um intervalo de tempo Δt, não é possível medir a energia com precisão – haverá uma incerteza ΔE na medição. Para medir a energia com mais precisão (para tornar makeE menor), devemos aumentar Δt. Este intervalo de tempo pode ser a quantidade de tempo que levamos para fazer a medição, ou pode ser a quantidade de tempo que um determinado estado existe, como no próximo Exemplo 2.

O princípio da incerteza para energia e tempo pode ser de grande importância se a vida útil de um sistema for muito curta. Então t é muito pequeno e ΔE é conseqüentemente muito grande. Alguns núcleos e partículas exóticas têm tempos de vida extremamente curtos (tão pequenos quanto 10-25 s), causando incertezas na energia de tantos GeV (109 eV). A energia armazenada aparece como massa de repouso aumentada e, portanto, isso significa que há uma incerteza significativa na massa de repouso das partículas de vida curta. Quando medido repetidamente, uma dispersão de massas ou energias de decadência são obtidas. O spread é ΔE. Você pode perguntar se essa incerteza na energia poderia ser evitada por não medir o tempo de vida. A resposta é não. A natureza conhece o tempo de vida e, portanto, sua brevidade afeta a energia da partícula. Isso está tão bem estabelecido experimentalmente que a incerteza na energia de decaimento é usada para calcular o tempo de vida de estados de vida curta. Alguns núcleos e partículas têm vida tão curta que é difícil medir seu tempo de vida. Mas se sua energia de decaimento pode ser medida, sua propagação é ΔE, e isso é usado no princípio de incerteza \ left (\ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \ right) \\ para calcular o tempo de vida Δt.

Há outra consequência do princípio da incerteza para energia e tempo. Se a energia é incerta por ΔE, então a conservação de energia pode ser violada por ΔE por um tempo Δt. Nem o físico nem a natureza podem dizer que a conservação de energia foi violada, se a violação for temporária e menor que a incerteza de energia. Embora pareça inócuo o suficiente, veremos em capítulos posteriores que permite a criação temporária de matéria a partir do nada e tem implicações em como a natureza transmite forças em distâncias muito pequenas.

Finalmente, observe que na discussão de partículas e ondas, afirmamos que as medições individuais produzem resultados precisos ou semelhantes a partículas. Uma posição definida é determinada cada vez que observamos um elétron, por exemplo. Mas medições repetidas produzem uma dispersão em valores consistentes com as características da onda. O grande físico teórico Richard Feynman (1918–1988) comentou: “O que existem são partículas.” Quando você observa um número suficiente deles, eles se distribuem como você esperaria de um fenômeno de onda. No entanto, o que eles existem enquanto viajam não podemos dizer porque, quando tentamos medir, afetamos a viagem.

Resumo da seção

• Descobriu-se que a matéria tem as mesmas características de interferência que qualquer outra onda.
• Agora há uma distribuição de probabilidade para a localização de uma partícula em vez de uma posição.
• Outra consequência do caráter ondulatório de todas as partículas é o princípio da incerteza de Heisenberg, que limita a precisão com que certas quantidades físicas podem ser conhecidas simultaneamente. Para posição e momento, o princípio da incerteza é \ Delta { x} \ Delta {p} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, onde Δx é a incerteza na posição e Δp é a incerteza no momento.
• Para energia e tempo, o o princípio da incerteza é \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\ ondeΔE é a incerteza na energia eΔt é a incerteza no tempo.
• Esses pequenos limites são fundamentalmente importantes na escala da mecânica quântica.

Glossário

O princípio da incerteza de Heisenberg: um limite fundamental para a precisão com que pares de quantidades (momento e posição, e energia e tempo) podem ser medidos

incerteza na energia: falta de precisão ou falta de conhecimento de resultados precisos em medições de energia

incerteza no tempo: falta de precisão ou falta de conhecimento de resultados precisos em medições de tempo

incerteza no momento: falta de precisão ou falta de conhecimento de resultados precisos em medições de momento

incerteza na posição: falta de precisão ou falta de conhecimento de resultados precisos em medições de posição

distribuição de probabilidade: a distribuição espacial geral de probabilidades de encontrar uma partícula em um determinado local