Distribuzione di probabilità

Materia e i fotoni sono onde, il che implica che si estendono su una certa distanza. Qual è la posizione di una particella, come un elettrone? È al centro dell’onda? La risposta sta nel modo in cui misuri la posizione di un elettrone. Gli esperimenti mostrano che troverai l’elettrone in una posizione definita, a differenza di un’onda. Ma se imposti esattamente la stessa situazione e la misuri di nuovo, troverai l’elettrone in una posizione diversa, spesso molto al di fuori di qualsiasi incertezza sperimentale nella tua misurazione. Misurazioni ripetute visualizzeranno una distribuzione statistica delle posizioni che appare come un’onda. (Vedi figura 1.)

Dopo che de Broglie propose la natura ondulatoria della materia, molti fisici, incluso Schrödinger e Heisenberg, ha esplorato le conseguenze. È emersa rapidamente l’idea che, a causa del suo carattere ondoso, la traiettoria e la destinazione di una particella non possono essere previste con precisione per ciascuna particella individualmente. Tuttavia, ogni particella va in un posto definito (come illustrato nella Figura 1). Dopo aver compilato una quantità sufficiente di dati, si ottiene una distribuzione correlata alla lunghezza d’onda e al modello di diffrazione della particella. C’è una certa probabilità di trovare la particella in una data posizione e il modello generale è chiamato distribuzione di probabilità. Coloro che hanno sviluppato la meccanica quantistica hanno escogitato equazioni che prevedevano la distribuzione di probabilità in varie circostanze.

È un po ‘inquietante pensare che non si possa prevedere esattamente dove andrà una singola particella, o addirittura seguirla fino a destinazione. Esploriamo cosa succede se proviamo a seguire una particella. Considera i modelli a doppia fenditura ottenuti per elettroni e fotoni nella Figura 2. Innanzitutto, notiamo che questi modelli sono identici, seguendo d sin θ = mλ, l’equazione per l’interferenza costruttiva a doppia fenditura sviluppata nelle Energie dei fotoni e nello spettro elettromagnetico, dove d è la separazione della fenditura e λ è la lunghezza d’onda dell’elettrone o del fotone.

Entrambi i modelli si accumulano statisticamente quando le singole particelle cadono su il rilevatore. Questo può essere osservato per i fotoni o gli elettroni, per ora concentriamoci sugli elettroni. Potreste immaginare che gli elettroni interferiscano tra loro come fanno le onde. Per verificarlo, puoi abbassare l’intensità finché non c’è mai più di un elettrone tra le fessure e lo schermo. Si crea lo stesso schema di interferenza! Ciò implica che la distribuzione di probabilità di una particella si estende su entrambe le fenditure e le particelle effettivamente interferiscono con se stesse. Questo significa anche che l’elettrone attraversa entrambe le fenditure? Un elettrone è un’unità di base della materia che non è divisibile. Ma è una domanda giusta, quindi dovremmo cercare di vedere se l’elettrone attraversa una fenditura o l’altra, o entrambi. Una possibilità è avere bobine attorno alle fessure che rilevano le cariche che si muovono attraverso di esse. Ciò che si osserva è che un elettrone passa sempre attraverso una fenditura o l’altra; non si divide per passare attraverso entrambi. Ma c’è un problema. Se determini che l’elettrone ha attraversato una delle fenditure, non ottieni più uno schema a doppia fenditura, ma piuttosto un’interferenza a fenditura singola. Non c’è scampo usando un altro metodo per determinare quale fenditura è stata attraversata dall’elettrone. Sapere che la particella ha attraversato una fenditura forza un modello a fenditura singola. Se non osservi in quale fenditura passa l’elettrone, ottieni uno schema a doppia fenditura.

Incertezza di Heisenberg

In che modo sapere quale fenditura è passato attraverso l’elettrone cambia lo schema? La risposta è di fondamentale importanza: la misurazione influisce sul sistema osservato. Le informazioni possono essere perse e in alcuni casi è impossibile misurare due grandezze fisiche contemporaneamente con una precisione esatta. Ad esempio, puoi misurare la posizione di un elettrone in movimento disperdendo la luce o altri elettroni da esso.Queste sonde hanno la quantità di moto stesse e, disperdendosi dall’elettrone, cambiano la quantità di moto in un modo che perde informazioni. C’è un limite alla conoscenza assoluta, anche in linea di principio.

Fu Werner Heisenberg a dichiarare per primo questo limite alla conoscenza nel 1929 come risultato del suo lavoro sulla meccanica quantistica e le caratteristiche ondulatorie di tutte le particelle . (Vedi figura 3). In particolare, considera la misurazione simultanea della posizione e della quantità di moto di un elettrone (potrebbe essere qualsiasi particella). C’è un’incertezza nella posizione Δx che è approssimativamente uguale alla lunghezza d’onda della particella. Cioè, Δx ≈ λ.

Come discusso sopra, un’onda non si trova in un punto dello spazio. Se la posizione dell’elettrone viene misurata ripetutamente, si osserverà uno spread nelle posizioni, che implica un’incertezza nella posizione Δx. Per rilevare la posizione della particella, dobbiamo interagire con essa, ad esempio facendola entrare in collisione con un rilevatore. Nella collisione, la particella perderà slancio. Questa variazione di quantità di moto potrebbe essere ovunque da vicino a zero alla quantità di moto totale della particella, p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Non è possibile stabilire la quantità di quantità di moto trasferita a un rivelatore, quindi c’è anche un’incertezza nella quantità di moto Δp. In effetti, l’incertezza nella quantità di moto può essere grande quanto la quantità di moto stessa, che in forma di equazione significa che \ Delta {p} \ approx \ frac {h} {\ lambda} \\.

L’incertezza in posizione può essere ridotta utilizzando un elettrone di lunghezza d’onda inferiore, poiché Δx ≈ λ. Ma accorciando la lunghezza d’onda aumenta l’incertezza nella quantità di moto, poiché p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Al contrario, l’incertezza nella quantità di moto può essere ridotta utilizzando un elettrone di lunghezza d’onda maggiore, ma questo aumenta l’incertezza nella posizione. Matematicamente, puoi esprimere questo compromesso moltiplicando le incertezze. La lunghezza d’onda si annulla, lasciando ΔxΔp ≈ h.

Quindi se un’incertezza viene ridotta, l’altra deve aumentare in modo che il loro prodotto sia ≈h.

Questo è noto come principio di indeterminazione di Heisenberg . È impossibile misurare la posizione x e la quantità di moto p simultaneamente con le incertezze Δx e Δp che si moltiplicano per essere inferiori a \ frac {h} {4 \ pi} \\. Nessuna delle due incertezze può essere zero. Nessuna delle due incertezze può diventare piccola senza che l’altra diventi grande. Una piccola lunghezza d’onda consente una misurazione precisa della posizione, ma aumenta la quantità di moto della sonda al punto da disturbare ulteriormente la quantità di moto di un sistema misurato. Ad esempio, se un elettrone è diffuso da un atomo e ha una lunghezza d’onda abbastanza piccola da rilevare la posizione degli elettroni nell’atomo, la sua quantità di moto può respingere gli elettroni dalle loro orbite in un modo che perde informazioni sul loro movimento originale. È quindi impossibile seguire un elettrone nella sua orbita attorno a un atomo. Se misuri la posizione dell’elettrone, lo troverai in una posizione definita, ma l’atomo verrà interrotto. Misurazioni ripetute su atomi identici produrranno interessanti distribuzioni di probabilità per gli elettroni attorno all’atomo, ma non produrranno informazioni sul movimento. Le distribuzioni di probabilità sono indicate come nuvole di elettroni o orbitali. Le forme di questi orbitali sono spesso mostrate nei testi di chimica generale e sono discusse in The Wave Nature of Matter Causes Quantization.

Perché non notiamo il principio di indeterminazione di Heisenberg nella vita di tutti i giorni? La risposta è che la costante di Planck è molto piccola. Pertanto, il limite inferiore nell’incertezza della misurazione della posizione e della quantità di moto di oggetti di grandi dimensioni è trascurabile. Possiamo rilevare la luce solare riflessa da Giove e seguire il pianeta nella sua orbita attorno al Sole. La luce solare riflessa altera la quantità di moto di Giove e crea un’incertezza nella sua quantità di moto, ma questo è del tutto trascurabile rispetto all’enorme quantità di moto di Giove. Il principio di corrispondenza ci dice che le previsioni della meccanica quantistica diventano indistinguibili dalla fisica classica per oggetti di grandi dimensioni, come è il caso qui.

Incertezza di Heisenberg per energia e tempo

Esiste un’altra forma del principio di indeterminazione di Heisenberg per misurazioni simultanee di energia e tempo. In forma di equazione, \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, dove ΔE è l’incertezza in energia e Δt è l’incertezza nel tempo.Ciò significa che entro un intervallo di tempo Δt, non è possibile misurare l’energia con precisione: ci sarà un’incertezza ΔE nella misurazione. Per misurare l’energia in modo più preciso (per rendere ΔE più piccolo), dobbiamo aumentare Δt. Questo intervallo di tempo può essere la quantità di tempo che impieghiamo per effettuare la misurazione, oppure potrebbe essere la quantità di tempo in cui esiste un particolare stato, come nel prossimo esempio 2.

Il principio di indeterminazione per energia e tempo può essere di grande importanza se la durata di un sistema è molto breve. Allora Δt è molto piccolo e di conseguenza ΔE è molto grande. Alcuni nuclei e particelle esotiche hanno una durata estremamente breve (fino a 10-25 s), causando incertezze energetiche fino a molti GeV (109 eV). L’energia immagazzinata appare come massa a riposo aumentata, e quindi questo significa che c’è una significativa incertezza nella massa a riposo delle particelle di breve durata. Se misurato ripetutamente, si ottiene una diffusione di masse o energie di decadimento. Lo spread è ΔE. Potresti chiederti se questa incertezza energetica potrebbe essere evitata non misurando la durata. La risposta è no. La natura conosce la vita e quindi la sua brevità influisce sull’energia della particella. Questo è così ben stabilito sperimentalmente che l’incertezza nell’energia di decadimento viene utilizzata per calcolare la durata degli stati di breve durata. Alcuni nuclei e particelle hanno vita così breve che è difficile misurarne la durata. Ma se la loro energia di decadimento può essere misurata, la sua diffusione è ΔE, e questo è usato nel principio di indeterminazione \ left (\ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \ right) \\ per calcolare la durata Δt.

C’è un’altra conseguenza del principio di indeterminazione per energia e tempo. Se l’energia è incerta per ΔE, la conservazione dell’energia può essere violata da ΔE per un tempo Δt. Né il fisico né la natura possono dire che la conservazione dell’energia è stata violata, se la violazione è temporanea e minore dell’incertezza energetica. Anche se questo suona abbastanza innocuo, vedremo nei capitoli successivi che consente la creazione temporanea di materia dal nulla e ha implicazioni sul modo in cui la natura trasmette le forze su distanze molto piccole.

Infine, si noti che nella discussione di particelle e onde, abbiamo affermato che misurazioni individuali producono risultati precisi o simili a particelle. Ad esempio, ogni volta che osserviamo un elettrone viene determinata una posizione definita. Ma misurazioni ripetute producono una diffusione dei valori coerente con le caratteristiche dell’onda. Il grande fisico teorico Richard Feynman (1918-1988) ha commentato: “Ciò che ci sono, sono particelle”. Quando ne osservi un numero sufficiente, si distribuiscono come ci si aspetterebbe da un fenomeno ondoso. Tuttavia, cosa ci sono mentre viaggiano non possiamo dirlo perché, quando proviamo a misurare, influenziamo il viaggio.

Riepilogo della sezione

• La materia ha le stesse caratteristiche di interferenza di qualsiasi altra onda.
• Ora esiste una distribuzione di probabilità per la posizione di una particella piuttosto che una posizione.
• Un’altra conseguenza del carattere ondulatorio di tutte le particelle è il principio di indeterminazione di Heisenberg, che limita la precisione con cui determinate grandezze fisiche possono essere conosciute simultaneamente. Per posizione e quantità di moto, il principio di indeterminazione è \ Delta { x} \ Delta {p} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, dove Δx è l’incertezza nella posizione e Δp è l’incertezza nella quantità di moto.
• Per energia e tempo, il il principio di indeterminazione è \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\ doveΔE è l’incertezza in energia eΔt è l’incertezza nel tempo.
• Questi piccoli limiti sono di fondamentale importanza su scala quantomeccanica.

Glossario

Principio di indeterminazione di Heisenberg: un limite fondamentale alla precisione con cui coppie di quantità (quantità di moto e posizione, energia e tempo) possono essere misurati

incertezza nell’energia: mancanza di precisione o mancanza di conoscenza dei risultati precisi nelle misurazioni di energia

incertezza nel tempo: mancanza di precisione o mancanza di conoscenza di risultati precisi nelle misurazioni del tempo

incertezza nella quantità di moto: mancanza di precisione o mancanza di conoscenza dei risultati precisi nelle misurazioni della quantità di moto

incertezza nella posizione: mancanza di precisione o mancanza di conoscenza dei risultati precisi nelle misurazioni della posizione

distribuzione di probabilità: la distribuzione spaziale complessiva delle probabilità di trovare una particella in una data posizione