Distribución de probabilidad

Materia y los fotones son ondas, lo que implica que se extienden a cierta distancia. ¿Cuál es la posición de una partícula, como un electrón? ¿Está en el centro de la ola? La respuesta radica en cómo se mide la posición de un electrón. Los experimentos muestran que encontrará el electrón en una ubicación definida, a diferencia de una onda. Pero si configura exactamente la misma situación y la mide nuevamente, encontrará el electrón en una ubicación diferente, a menudo muy lejos de cualquier incertidumbre experimental en su medición. Las mediciones repetidas mostrarán una distribución estadística de ubicaciones que parece ondulada. (Ver Figura 1.)

Después de que De Broglie propuso la naturaleza ondulatoria de la materia, muchos físicos, incluido Schrödinger y Heisenberg, exploró las consecuencias. Rápidamente surgió la idea de que, debido a su carácter ondulatorio, la trayectoria y el destino de una partícula no se pueden predecir con precisión para cada partícula individualmente. Sin embargo, cada partícula va a un lugar definido (como se ilustra en la Figura 1). Después de recopilar suficientes datos, obtiene una distribución relacionada con la longitud de onda y el patrón de difracción de la partícula. Existe una cierta probabilidad de encontrar la partícula en una ubicación determinada, y el patrón general se denomina distribución de probabilidad. Aquellos que desarrollaron la mecánica cuántica idearon ecuaciones que predecían la distribución de probabilidad en diversas circunstancias.

Es un tanto inquietante pensar que no se puede predecir exactamente adónde irá una partícula individual, o incluso seguirla hasta su destino. Exploremos qué sucede si intentamos seguir una partícula. Considere los patrones de doble rendija obtenidos para electrones y fotones en la Figura 2. En primer lugar, observamos que estos patrones son idénticos, siguiendo d sen θ = mλ, la ecuación para la interferencia constructiva de doble rendija desarrollada en Photon Energies and the Electromagnetic Spectrum, donde d es la separación de la rendija y λ es la longitud de onda del electrón o fotón.

Ambos patrones se acumulan estadísticamente a medida que las partículas individuales caen sobre el detector. Esto se puede observar para fotones o electrones; por ahora, concentrémonos en los electrones. Puede imaginarse que los electrones interfieren entre sí como lo hacen las ondas. Para probar esto, puede reducir la intensidad hasta que nunca haya más de un electrón entre las ranuras y la pantalla. ¡Se acumula el mismo patrón de interferencia! Esto implica que la distribución de probabilidad de una partícula abarca ambas rendijas, y las partículas realmente interfieren con ellas mismas. ¿Significa esto también que el electrón pasa por ambas rendijas? Un electrón es una unidad básica de materia que no es divisible. Pero es una pregunta justa, por lo que deberíamos mirar para ver si el electrón atraviesa una rendija u otra, o ambas. Una posibilidad es tener bobinas alrededor de las rendijas que detecten cargas que se mueven a través de ellas. Lo que se observa es que un electrón siempre pasa por una rendija u otra; no se divide para pasar por ambos. Pero hay una trampa. Si determina que el electrón pasó por una de las rendijas, ya no obtendrá un patrón de doble rendija, sino que obtendrá una interferencia de una sola rendija. No hay escapatoria usando otro método para determinar por qué rendija pasó el electrón. Saber que la partícula pasó por una rendija fuerza un patrón de una sola rendija. Si no observa por qué rendija pasa el electrón, obtiene un patrón de doble rendija.

Incertidumbre de Heisenberg

¿Cómo cambia el patrón saber por qué rendija pasó el electrón? La respuesta es fundamentalmente importante: la medición afecta el sistema que se está observando. Se puede perder información y, en algunos casos, es imposible medir dos cantidades físicas simultáneamente con una precisión exacta. Por ejemplo, puede medir la posición de un electrón en movimiento dispersando luz u otros electrones de él.Esas sondas tienen impulso en sí mismas y, al dispersarse desde el electrón, cambian su impulso de una manera que pierde información. Existe un límite para el conocimiento absoluto, incluso en principio.

Fue Werner Heisenberg quien estableció por primera vez este límite al conocimiento en 1929 como resultado de su trabajo sobre la mecánica cuántica y las características de onda de todas las partículas. . (Ver figura 3). Específicamente, considere medir simultáneamente la posición y el momento de un electrón (podría ser cualquier partícula). Existe una incertidumbre en la posición Δx que es aproximadamente igual a la longitud de onda de la partícula. Es decir, Δx ≈ λ.

Como se discutió anteriormente, una onda no está ubicada en un punto en el espacio. Si la posición del electrón se mide repetidamente, se observará una dispersión en las ubicaciones, lo que implica una incertidumbre en la posición Δx. Para detectar la posición de la partícula, debemos interactuar con ella, como hacer que colisione con un detector. En la colisión, la partícula perderá impulso. Este cambio en la cantidad de movimiento podría ser desde cerca de cero hasta la cantidad de movimiento total de la partícula, p = \ frac {h} {\ lambda} \\. No es posible decir cuánto impulso se transferirá a un detector, por lo que también hay una incertidumbre en el impulso Δp. De hecho, la incertidumbre en el impulso puede ser tan grande como el impulso mismo, lo que en forma de ecuación significa que \ Delta {p} \ approx \ frac {h} {\ lambda} \\.

La incertidumbre en posición se puede reducir utilizando un electrón de longitud de onda más corta, ya que Δx ≈ λ. Pero acortar la longitud de onda aumenta la incertidumbre en el impulso, ya que p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Por el contrario, la incertidumbre en el momento se puede reducir utilizando un electrón de longitud de onda más larga, pero esto aumenta la incertidumbre en la posición. Matemáticamente, puede expresar esta compensación multiplicando las incertidumbres. La longitud de onda se cancela, dejando ΔxΔp ≈ h.

Entonces, si una incertidumbre se reduce, la otra debe aumentar para que su producto sea ≈h.

Esto se conoce como el principio de incertidumbre de Heisenberg . Es imposible medir la posición x y el momento p simultáneamente con incertidumbres Δx y Δp que se multiplican para ser menores que \ frac {h} {4 \ pi} \\. Ninguna incertidumbre puede ser cero. Ninguna incertidumbre puede reducirse sin que la otra se vuelva grande. Una longitud de onda pequeña permite una medición de posición precisa, pero aumenta el impulso de la sonda hasta el punto de perturbar aún más el impulso de un sistema que se está midiendo. Por ejemplo, si un electrón se dispersa desde un átomo y tiene una longitud de onda lo suficientemente pequeña como para detectar la posición de los electrones en el átomo, su impulso puede sacar a los electrones de sus órbitas de una manera que pierde información sobre su movimiento original. Por tanto, es imposible seguir un electrón en su órbita alrededor de un átomo. Si mide la posición del electrón, lo encontrará en una ubicación definida, pero el átomo se romperá. Las mediciones repetidas en átomos idénticos producirán distribuciones de probabilidad interesantes para los electrones alrededor del átomo, pero no producirán información de movimiento. Las distribuciones de probabilidad se conocen como nubes de electrones u orbitales. Las formas de estos orbitales a menudo se muestran en textos de química general y se analizan en La naturaleza ondulatoria de la materia causa la cuantificación.

¿Por qué no nos damos cuenta del principio de incertidumbre de Heisenberg en la vida cotidiana? La respuesta es que la constante de Planck es muy pequeña. Por tanto, el límite inferior de la incertidumbre de medir la posición y el momento de los objetos grandes es insignificante. Podemos detectar la luz solar reflejada por Júpiter y seguir al planeta en su órbita alrededor del Sol. La luz solar reflejada altera el impulso de Júpiter y crea una incertidumbre en su impulso, pero esto es totalmente insignificante en comparación con el enorme impulso de Júpiter. El principio de correspondencia nos dice que las predicciones de la mecánica cuántica se vuelven indistinguibles de la física clásica para objetos grandes, que es el caso aquí.

Incertidumbre de Heisenberg para energía y tiempo

Hay otra forma del principio de incertidumbre de Heisenberg para mediciones simultáneas de energía y tiempo. En forma de ecuación, \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, donde ΔE es la incertidumbre en energía y Δt es la incertidumbre en el tiempo.Esto significa que dentro de un intervalo de tiempo Δt, no es posible medir la energía con precisión; habrá una incertidumbre ΔE en la medición. Para medir la energía con mayor precisión (para hacer ΔE más pequeño), debemos aumentar Δt. Este intervalo de tiempo puede ser la cantidad de tiempo que tardamos en realizar la medición, o podría ser la cantidad de tiempo que existe un estado en particular, como en el siguiente Ejemplo 2.

El principio de incertidumbre para la energía y el tiempo puede ser de gran importancia si la vida útil de un sistema es muy corta. Entonces, Δt es muy pequeño y, en consecuencia, ΔE es muy grande. Algunos núcleos y partículas exóticas tienen tiempos de vida extremadamente cortos (tan pequeños como 10-25 s), lo que genera incertidumbres en la energía de hasta muchos GeV (109 eV). La energía almacenada aparece como una masa en reposo aumentada, por lo que esto significa que existe una incertidumbre significativa en la masa en reposo de las partículas de vida corta. Cuando se mide repetidamente, se obtiene una dispersión de masas o energías de desintegración. El diferencial es ΔE. Podría preguntarse si esta incertidumbre en la energía podría evitarse no midiendo la vida útil. La respuesta es no. La naturaleza conoce el tiempo de vida, por lo que su brevedad afecta la energía de la partícula. Esto está tan bien establecido experimentalmente que la incertidumbre en la energía de desintegración se utiliza para calcular la vida útil de los estados de corta duración. Algunos núcleos y partículas tienen una vida tan corta que es difícil medir su vida útil. Pero si se puede medir su energía de desintegración, su propagación es ΔE, y esto se usa en el principio de incertidumbre \ left (\ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \ right) \\ para calcular la vida útil Δt.

Existe otra consecuencia del principio de incertidumbre para la energía y el tiempo. Si la energía es incierta por ΔE, entonces ΔE puede violar la conservación de energía durante un tiempo Δt. Ni el físico ni la naturaleza pueden decir que se ha violado la conservación de la energía, si la violación es temporal y menor que la incertidumbre en la energía. Si bien esto suena lo suficientemente inocuo, veremos en capítulos posteriores que permite la creación temporal de materia a partir de la nada y tiene implicaciones sobre cómo la naturaleza transmite fuerzas a distancias muy pequeñas.

Finalmente, tenga en cuenta que en la discusión de partículas y ondas, hemos declarado que las mediciones individuales producen resultados precisos o similares a partículas. Una posición definida se determina cada vez que observamos un electrón, por ejemplo. Pero las mediciones repetidas producen una dispersión de valores consistente con las características de las olas. El gran físico teórico Richard Feynman (1918-1988) comentó: «Lo que hay son partículas». Cuando observas suficientes, se distribuyen como cabría esperar de un fenómeno de olas. Sin embargo, no podemos saber qué hay mientras viajan porque, cuando intentamos medir, afectamos el viaje.

Resumen de la sección

• Se encuentra que la materia tiene las mismas características de interferencia que cualquier otra onda.
• Ahora hay una distribución de probabilidad para la ubicación de una partícula en lugar de una posición.
• Otra consecuencia del carácter ondulatorio de todas las partículas es el principio de incertidumbre de Heisenberg, que limita la precisión con la que ciertas cantidades físicas pueden conocerse simultáneamente. Para la posición y el momento, el principio de incertidumbre es \ Delta { x} \ Delta {p} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, donde Δx es la incertidumbre en la posición y Δp es la incertidumbre en el momento.
• Para energía y tiempo, el El principio de incertidumbre es \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\ dondeΔE es la incertidumbre en energía yΔt es la incertidumbre en el tiempo.
• Estos pequeños límites son fundamentalmente importantes en la escala mecánica cuántica.

Glosario

Principio de incertidumbre de Heisenberg: un límite fundamental para la precisión con qué pares de cantidades (momento y posición, y energía y tiempo) se pueden medir

incertidumbre en la energía: falta de precisión o falta de conocimiento de resultados precisos en las mediciones de energía

incertidumbre en el tiempo: falta de precisión o falta de conocimiento de resultados precisos en mediciones de tiempo

incertidumbre en el momento: falta de precisión o falta de conocimiento de resultados precisos en las mediciones del momento

incertidumbre en la posición: falta de precisión o falta de conocimiento de resultados precisos en mediciones de posición

distribución de probabilidad: la distribución espacial general de probabilidades para encontrar una partícula en una ubicación determinada