Ile przekątnych to wielokąt o 300 bokach? Cóż, nie miałoby większego sensu rysowanie wielokąta o 300 bokach i rysowanie po wszystkich tych przekątnych. Musi istnieć skrót lub formuła.
Cóż, najpierw cofnijmy się. Co to jest przekątna? Przekątna to dowolny odcinek linii, który łączy dwa nieciągłe wierzchołki. Więc jeśli spojrzymy na trójkąt. Jeśli spojrzę na każdy pojedynczy wierzchołek, znowu wierzchołek jest miejscem, w którym spotykają się dwa końce. Nie ma sposobu, bym rysował po przekątnej, ponieważ dla tego wierzchołka obie te strony są następujące po sobie. Nie ma więc możliwości, abyśmy mieli jakiekolwiek przekątne.
Jeśli jednak spojrzę na kwadrat, mogę zobacz, że istnieje jeden niekolejny wierzchołek, jeśli spojrzę na ten wierzchołek. Patrzę na inny wierzchołek, jest tylko jeden niekolejny wierzchołek. Zobaczmy więc, czy możemy rozgryźć wzór. Aby to zrobić, użyjemy tej tabeli, w której mam trzy kolumny: jedną dla liczby wierzchołków, drugą dla liczby przekątnych na wierzchołek i całkowitej liczby przekątnych, które widzimy w wielokącie.
Więc zaczęliśmy już od dwóch różnych wielokątów. Rozmawialiśmy już o trójkącie. Więc liczba wierzchołków w trójkącie to tylko trzy. Liczba przekątnych, o których mówiliśmy, wynosiła zero, ponieważ nie możemy narysować przekątnej. Co oznacza, że całkowita liczba przekątnych nadal wynosi zero. Ok?
Wróćmy i spójrzmy na kwadrat. Kwadrat, o którym mówiliśmy, ma 1, 2, 3, 4 wierzchołki. Ten tutaj wierzchołek ma tylko jedną przekątną, ten tutaj ma tylko jedną przekątną, więc mamy cztery wierzchołki, każdy wierzchołek ma jedną przekątną, ale widzimy tylko dwa z nich. Widzimy więc, że będzie jakiś rodzaj podziału, który będzie musiał zachodzić tutaj.
Na koniec spójrzmy na pięciokąt. Jeśli spojrzę na ten wierzchołek, mogę narysować w jednym , dwie przekątne. I zobaczę, że dla każdego wierzchołka będę w stanie narysować dwie różne przekątne. Zatem liczba wierzchołków to pięć, liczba przekątnych na wierzchołek to dwa, a suma przekątne tutaj mamy małą gwiazdę, więc mamy pięć przekątnych. Więc najpierw chcę wiedzieć, czy jest n wierzchołków, ponieważ narysuję kropkę, kropkę, kropkę, dla n wierzchołków. jeśli pomnożę 3 razy 0, zrobimy tutaj kropkę. 3 razy 0 równa się 0, więc wszystko w porządku. Tutaj mamy 4 razy 1, ale to nie równa się 2. Więc to, co będziemy musieli zrobić, to wziąć 4 razy 1 i podzielić to na pół. 5 razy 2 podzielone na pół równa się 5. Patrzę na liczbę wierzchołków, które mamy trzy, więc nazwiemy to n. Tutaj mamy liczbę przekątnych na wierzchołek, tutaj mamy 0, 1 i 2 i widzę, że aby uzyskać od 3 do 0, zamierzam odjąć 3, aby uzyskać od 5 do 1, odejmuję 3 od 5 do 2 Odejmuję 3. Mamy więc n razy ilość n odjąć 3, wszystko podzielone przez 2.
Więc dwie kluczowe rzeczy dotyczące tego wzoru tutaj, które mówią o liczbie przekątnych i zamierzam skrócić DIAG.
Więc liczba przekątnych, są dwie kluczowe rzeczy, na które chcę zwrócić uwagę. Pierwsza to n-3. Skąd pochodzi n-3? Cóż, jeśli mamy tutaj pięć wierzchołków. Nie będziemy liczyć wierzchołków to jest samo w sobie, ponieważ nie możesz narysować wierzchołka do siebie samego, a dodatkowo są jeszcze dwa kolejne wierzchołki w sumie trzech wierzchołków w tym wielokącie, których tak naprawdę nie liczymy.
Drugą kluczową częścią tutaj jest dzielenie przez 2. Dlaczego musimy to dzielić przez 2? Jeśli wrócę do tego kwadratu, jeśli spojrzę na ten wierzchołek, narysowałem go po jednej przekątnej. Z perspektywy tego wierzchołka narysowałem tylko jeden. Z perspektywy tego wierzchołka narysowałem kolejną przekątną. Ale to ta sama przekątna. Zatem każdy wierzchołek i każda przekątna, którą narysujemy z wierzchołka, zostaną policzone dwukrotnie, dlatego musimy podzielić naszą formułę przez dwa.