Quante diagonali sono un poligono con 300 lati? Beh, non avrebbe molto senso disegnare un poligono con 300 lati e disegnare su tutte quelle diagonali. Deve esserci una scorciatoia o una formula.
Bene, prima torniamo indietro. Cos’è una diagonale? Una diagonale è qualsiasi segmento di linea che collega due vertici non consecutivi. Quindi se guardiamo un triangolo. Se guardo ogni singolo vertice, di nuovo il vertice è dove due estremità incontrano due lati si incontrano. Non c’è modo per me di disegnare su una diagonale qui perché per questo vertice entrambi questi lati sono consecutivi. Quindi non c’è modo per noi di avere diagonali.
Se guardo un quadrato, tuttavia, posso vedo che c’è un vertice non consecutivo se guardo questo vertice. Guardo un altro vertice, c’è solo un vertice non consecutivo. Quindi vediamo se riusciamo a capire lo schema. Per fare ciò, useremo questa tabella qui dove ho tre colonne: una per il numero di vertici, una per il numero di diagonali per vertice e il numero totale di diagonali che vediamo in un poligono.
Quindi abbiamo già iniziato con due diversi poligoni. Abbiamo parlato di un triangolo. Quindi, il numero di vertici in un triangolo, beh, è solo tre. Il numero di diagonali che abbiamo detto era zero perché non c’è modo per noi di disegnare in diagonale. Il che significa che le nostre diagonali totali sono ancora zero. Va bene?
Torniamo indietro e guardiamo il quadrato. Il quadrato che abbiamo detto, ci sono 1, 2, 3, 4 vertici. Questo vertice qui ha solo una diagonale, questo vertice qui ha solo una diagonale quindi siamo quattro vertici, ogni vertice ha una diagonale ma ne vediamo solo due. Quindi vediamo che ci sarà una sorta di divisione che dovrà continuare qui.
Infine, guardiamo un pentagono. Se guardo questo vertice, posso disegnarne uno , due diagonali. E vedrò che per ogni vertice potrò disegnare due diagonali diverse. Quindi il numero di vertici qui è cinque, il numero di diagonali per vertice è due e il totale di diagonali qui abbiamo una piccola stella quindi abbiamo cinque diagonali. Quindi voglio sapere prima per n vertici perché disegnerò punto punto punto per n vertici, quale sarà il numero totale?
Bene, lo vedo se moltiplichiamo 3 per 0, quindi facciamo un punto qui. 3 per 0 è 0 quindi stiamo bene lì. Qui abbiamo 4 per 1, ma questo non è uguale a 2. Quindi quello che dovremo fare è che dovrò prendere 4 per 1 e dividere che a metà 5 per 2 diviso a metà è uguale a 5. Quindi guardo il numero di vertici che abbiamo tre, quindi lo chiameremo n. Qui abbiamo il numero di diagonali per vertice, qui abbiamo 0, 1 e 2 e vedo che per andare da 3 a 0 devo sottrarre 3 per andare da 5 a 1, sottrarre 3 da 5 a 2 sottraggo 3. Quindi abbiamo n volte la quantità di n meno 3, tutto diviso per 2.
Quindi due cose chiave su questa formula proprio qui che ti dice il numero di diagonali e ho intenzione di abbreviare DIAG.
Quindi il numero di diagonali, ci sono due cose fondamentali che voglio sottolineare. La prima è questa n-3. Da dove viene n-3? Beh, se abbiamo cinque vertici qui. Non contiamo il vertice questo è di per sé perché non puoi disegnare un vertice su se stesso più ci sono altri due vertici consecutivi per un totale di tre vertici in questo poligono che non stiamo realmente contando.
La seconda parte chiave qui è questa divisione per 2. Perché dobbiamo dividerlo per 2? Se torno a questo al quadrato, se guardo questo vertice, ho disegnato in una diagonale. Dalla prospettiva di questo vertice, ne ho disegnato solo uno. Dalla prospettiva di questo vertice ho disegnato un’altra diagonale. Ma è la stessa diagonale. Quindi ogni vertice e ogni diagonale che tracciamo da un vertice verranno contati due volte, motivo per cui dobbiamo dividere la nostra formula per due.
