Combien de diagonales est un polygone de 300 côtés? Eh bien, cela n’aurait pas beaucoup de sens de dessiner un polygone avec 300 côtés et de dessiner sur toutes ces diagonales. Il doit y avoir un raccourci ou une formule.
Eh bien, revenons en arrière. Qu’est-ce qu’une diagonale? Une diagonale est tout segment de ligne qui relie deux sommets non consécutifs. Donc, si nous regardons un triangle. Si je regarde chaque sommet, encore une fois, le sommet est l’endroit où deux extrémités rencontrent deux côtés. Il n’y a aucun moyen pour moi de dessiner sur une diagonale ici parce que pour ce sommet, ces deux côtés sont consécutifs. Il n’y a donc aucun moyen pour nous d’avoir des diagonales.
Si je regarde un carré cependant, je peux voyez qu’il y a un sommet non consécutif si je regarde ce sommet. Je regarde un autre sommet, il n’y a qu’un seul sommet non consécutif. Voyons donc si nous pouvons comprendre le motif. Pour ce faire, nous allons utiliser ce tableau ici où j’ai trois colonnes; une pour le nombre de sommets, une pour le nombre de diagonales par sommet et le nombre total de diagonales que nous voyons dans un polygone.
Nous avons donc déjà commencé avec deux polygones différents. Nous avons parlé d’un triangle. Donc, le nombre de sommets dans un triangle, c’est juste trois. Le nombre de diagonales que nous avons dit était nul car il n’y a aucun moyen pour nous de dessiner en diagonale. Ce qui signifie que nos diagonales totales sont toujours nulles. OK?
Revenons en arrière et regardons le carré. Le carré que nous avons dit, il y a 1, 2, 3, 4 sommets. Ce sommet ici n’a qu’une seule diagonale, ce sommet ici n’a qu’une seule diagonale donc nous « re quatre sommets, chaque sommet a une diagonale mais nous n’en voyons que deux. Nous voyons donc qu’il va y avoir une sorte de division qui va devoir continuer ici.
Enfin, regardons un pentagone. Si je regarde ce sommet, je peux en dessiner un , deux diagonales. Et je vais voir que pour chaque sommet, je vais pouvoir dessiner deux diagonales différentes. Donc le nombre de sommets ici est cinq, le nombre de diagonales par sommet est de deux et le total de diagonales ici nous avons une petite étoile donc nous avons cinq diagonales. Donc je veux savoir d’abord pour n sommets parce que je vais dessiner point point point pour n sommets, quel sera le nombre total?
Et bien je vois ça si je multiplie 3 fois 0, on fait donc un point ici. 3 fois 0 est 0 donc nous allons bien. Ici, nous avons 4 fois 1, mais ce n’est pas égal à 2. Donc, ce que nous allons devoir faire, c’est que je vais devoir prendre 4 fois 1 et diviser 5 fois 2 divisé en deux est égal à 5. Donc je regarde le nombre de sommets que nous avons trois donc nous allons appeler cela n. Ici nous avons le nombre de diagonales par sommet, ici nous avons 0, 1 et 2 et je vois que pour passer de 3 à 0 je vais soustraire 3 pour obtenir de 5 à 1, je soustrais 3 de 5 à 2 je soustrais 3. Nous avons donc n fois la quantité de n moins 3 divisée par 2.
Donc, deux choses clés à propos de cette formule ici qui vous indique le nombre de diagonales et je vais abréger DIAG.
Donc le nombre de diagonales, il y a deux choses clés que je veux souligner. La première est ce n-3. D’où vient n-3? Eh bien, si nous avons cinq sommets ici. Nous n’allons pas compter le sommet cela « est lui-même parce que vous ne pouvez pas » dessiner un sommet sur lui-même et il y a deux autres sommets consécutifs pour un total de trois sommets dans ce polygone que nous ne comptons pas vraiment.
La deuxième partie clé ici est cette division par 2. Pourquoi devons-nous diviser cela par 2? Si je reviens à ceci au carré, si je regarde ce sommet, j’ai dessiné en une diagonale. Du point de vue de ce sommet, je n’en ai dessiné qu’un. Du point de vue de ce sommet, j’ai dessiné une autre diagonale. Mais c’est la même diagonale. Donc, chaque sommet et chaque diagonale que nous tirons d’un sommet seront comptés deux fois, c’est pourquoi nous devons diviser notre formule par deux.
