Polígono

Un polígono es una forma plana (bidimensional) con lados rectos. Los ejemplos incluyen triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.

Regular

A «Regular Polygon «tiene: todos los lados iguales y todos los ángulos iguales. De lo contrario, es irregular.

Pentágono regular Pentágono irregular

Aquí solo analizamos los polígonos regulares.

Propiedades

Entonces, ¿qué podemos saber sobre polígonos regulares? Primero que nada, podemos calcular ángulos.

Ángulo exterior El ángulo exterior es el ángulo entre cualquier lado de una forma, y una línea que se extiende desde el lado siguiente.

Todos los ángulos exteriores de un polígono suman 360 °, así que:

Cada ángulo exterior debe ser 360 ° / n

(donde n es el número de lados)

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Ángulos interiores El ángulo interior le y el ángulo exterior se miden desde la misma línea, por lo que suman 180 °.

Ángulo interior = 180 ° – Ángulo exterior

Conocemos el ángulo exterior = 360 ° / n, entonces:

Ángulo interior = 180 ° – 360 ° / n

Y ahora algunos nombres:

«Circumcircle, Incircle, Radius y Apotema …»

Suena bastante musical si lo repites varias veces, pero son solo los nombres del «exterior» y el «interior» «círculos (y cada radio) que se pueden dibujar en un polígono como este:

El círculo «exterior» se llama circuncírculo y conecta todos los vértices (puntos de esquina) del polígono.

El radio del circuncírculo es también el radio del polígono.

El círculo «interior» se llama incírculo y solo toca cada lado del polígono en su punto medio.

El radio del incírculo es la apotema del polígono.

(No todos los polígonos tienen esas propiedades, pero los triángulos y los polígonos regulares sí las tienen).

Rompiendo en T triángulos

Podemos aprender mucho sobre polígonos regulares dividiéndolos en triángulos como esto:

Observe que:

• la «base» del triángulo es un lado del polígono.
• la «altura» del triángulo es la «Apotema» del polígono

Ahora, el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, entonces:

Área de un triángulo = base × altura / 2 = lado × apotema / 2

Para obtener el área de todo el polígono, solo suma las áreas de todos los triángulos pequeños («n» de ellos):

Área del polígono = n × lado × apotema / 2

Y dado que el perímetro es todos los lados = n × lado, obtenemos:

Área del polígono = perímetro × apotema / 2

Un triángulo más pequeño

Al cortar el triángulo por la mitad obtenemos esto:

( Nota: Los ángulos están en radianes, no en grados)

El triángulo pequeño tiene un ángulo recto, por lo que podemos usar seno, coseno y tangente para fi y cómo se relacionan el lado, el radio, la apotema yn (número de lados):

Hay muchas más relaciones como esas (la mayoría de ellas simplemente «reordenamientos»), pero esas ahora.

Más fórmulas de área

Podemos usar eso para calcular el área cuando solo conocemos el Apotema:

Y hay 2 de esos triángulos por lado, o 2n para todo el polígono:

Área del polígono = n × Apotemam2 × tan (π / n)

Cuando no conocemos el Apotema, podemos usar la misma fórmula pero reelaborado para Radio o para Lado:

Área del polígono = ½ × n × Radio2 × sin (2 × π / n)

Área del polígono = ¼ × n × Side2 / tan (π / n)

Una tabla de valores

Y aquí hay una tabla de Side, Apotema y Área comparada con un radio de «1», usando las fórmulas que han funcionado: