Hvor mange diagonaler er en polygon med 300 sider? Nå ville det ikke give meget mening at tegne en polygon med 300 sider og tegne på alle disse diagonaler. Der skal være en genvej eller en formel.
Nå, lad os først tage en sikkerhedskopi. Hvad er en diagonal? En diagonal er et hvilket som helst linjesegment, der forbinder to ikke-fortløbende hjørner. Så hvis vi ser på en trekant. Hvis jeg ser på hvert eneste toppunkt, er toppunktet igen, hvor to ender mødes, to sider mødes. Der er ingen måde for mig at trække på en diagonal her, for for dette toppunkt er begge disse sider fortløbende. Så der er ingen måde for os at have nogen diagonaler.
Hvis jeg ser på en firkant, kan jeg dog se, at der er et ikke-fortløbende toppunkt, hvis jeg ser på dette toppunkt. Jeg ser på et andet toppunkt der er kun et ikke-fortløbende toppunkt. Så lad os se om vi kan finde ud af mønsteret. For at gøre det skal vi bruge denne tabel her, hvor jeg har tre kolonner; en for antallet af hjørner, en for antallet af diagonaler pr. Hjørne og det samlede antal diagonaler, som vi ser i en polygon.
Så vi har allerede startet med to forskellige polygoner. Vi har talt om en trekant. Så antallet af hjørner i en trekant godt, det er bare tre. Antallet af diagonaler, vi sagde, var nul, fordi der ikke er nogen måde for os at tegne en diagonal. Hvilket betyder, at vores samlede diagonaler stadig er nul. Okay?
Lad os gå tilbage og se på firkanten. Den firkant, vi sagde, der er 1, 2, 3, 4 hjørner. Dette toppunkt lige her har kun en diagonal, dette toppunkt lige her har kun en diagonal så vi er fire hjørner, hver toppunkt har en diagonal, men vi ser kun to af dem. Så vi ser, at der vil være en slags opdeling, som bliver nødt til at fortsætte her.
Lad os se på en femkant. Hvis jeg ser på dette toppunkt, kan jeg tegne et , to diagonaler. Og jeg vil se, at for hvert toppunkt vil jeg være i stand til at tegne to forskellige diagonaler. Så antallet af hjørner her er fem, antallet af diagonaler pr. hjørne er to og det samlede antal diagonaler her har vi en lille stjerne, så vi har fem diagonaler. Så jeg vil først vide om n hjørner, fordi jeg tegner punkt prik prik for n hjørner, hvad bliver det samlede antal?
Nå ser jeg det hvis jeg gange 3 gange 0, så laver vi en prik her. 3 gange 0 er 0, så vi er okay der. Her har vi 4 gange 1, men det svarer ikke til 2. Så hvad vi bliver nødt til at gøre er, at jeg bliver nødt til at tage 4 gange 1 og dele at i halvdelen. 5 gange 2 delt i halvdelen er lig med 5. Så jeg ser på antallet af hjørner, vi har tre, så vi kalder det n. Her har vi antal diagonaler pr. Hjørne, her har vi 0, 1 og 2, og jeg ser, at for at komme fra 3 til 0 Jeg trækker 3 for at komme fra 5 til 1, trækker jeg 3 fra 5 til 2 Jeg trækker 3. Så vi har n gange antallet af n minus 3 alle divideret med 2.
Så to nøgle ting ved denne formel lige her, der fortæller dig antallet af diagonaler, og jeg skal forkortes DIAG.
Så antallet af diagonaler, der er to vigtige ting, jeg vil påpege. Den første er denne n-3. Hvor kommer n-3 fra? Nå, hvis vi har fem hjørner her. Vi tæller ikke toppunktet det er sig selv, fordi du ikke kan tegne et toppunkt til sig selv plus der er to flere på hinanden følgende hjørner for i alt tre hjørner i denne polygon, som vi ikke rigtig tæller.
Anden nøgledel her er denne divider med 2. Hvorfor skal vi dele dette med 2? Hvis jeg går tilbage til dette til pladsen, hvis jeg ser på dette toppunkt, er jeg tegnet i en diagonal. Fra dette synspunkt har jeg kun tegnet en. Fra dette perspektiv har jeg tegnet en anden diagonal. Men det er den samme diagonal. Så hver toppunkt og hver diagonal, som vi tegner fra et toppunkt, tælles to gange, hvorfor vi er nødt til at dele vores formel med to.