Distribuce pravděpodobnosti

Hmota a fotony jsou vlny, což znamená, že jsou rozprostřeny na určitou vzdálenost. Jaká je poloha částice, například elektronu? Je to ve středu vlny? Odpověď spočívá v tom, jak změříte polohu elektronu. Pokusy ukazují, že elektron najdete na určitém určitém místě, na rozdíl od vlny. Pokud ale nastavíte přesně stejnou situaci a změříte ji znovu, najdete elektron na jiném místě, často daleko za experimentální nejistotou měření. Opakovaná měření zobrazí statistickou distribuci míst, která vypadají vlnovitě. (Viz obrázek 1.)

Poté, co de Broglie navrhl vlnovou povahu hmoty, mnoho fyziků, včetně Schrödingera a Heisenberg zkoumali důsledky. Rychle se objevila myšlenka, že vzhledem ke svému vlnovému charakteru nelze přesně předpovědět trajektorii a cíl částice pro každou částici zvlášť. Každá částice však jde na určité místo (jak je znázorněno na obrázku 1). Po shromáždění dostatečného množství dat získáte rozdělení související s vlnovou délkou a difrakčním vzorcem částice. Existuje určitá pravděpodobnost nalezení částice na daném místě a celkový vzorec se nazývá rozdělení pravděpodobnosti. Ti, kteří vyvinuli kvantovou mechaniku, vymysleli rovnice, které předpovídaly rozdělení pravděpodobnosti za různých okolností.

Je poněkud zneklidňující si myslet, že nemůžete přesně předpovědět, kam jednotlivé částice půjdou, nebo dokonce ji následovat k cíli. Prozkoumejme, co se stane, když se pokusíme následovat určitou částici. Zvažte vzory dvojité štěrbiny získané pro elektrony a fotony na obrázku 2. Nejprve si povšimněte, že tyto vzory jsou identické, po d sin θ = mλ, rovnici konstruktivní interference s dvojitou štěrbinou vyvinutou ve fotonových energiích a elektromagnetickém spektru, kde d je štěrbinová separace a λ je vlnová délka elektronu nebo fotonu.

Oba vzory se statisticky vytvářejí, když jednotlivé částice dopadají na detektor. To lze pozorovat u fotonů nebo elektronů – prozatím se soustředme na elektrony. Mohli byste si představit, že elektrony navzájem interferují, stejně jako jakékoli vlny. Chcete-li to otestovat, můžete snížit intenzitu, dokud mezi štěrbinami a obrazovkou nikdy nebude více než jeden elektron. Vytváří se stejný vzor interference! To znamená, že rozdělení pravděpodobnosti částice překlenuje obě štěrbiny a částice ve skutečnosti do sebe zasahují. Znamená to také, že elektron prochází oběma štěrbinami? Elektron je základní jednotka hmoty, která není dělitelná. Je to ale spravedlivá otázka, a proto bychom se měli podívat, zda elektron prochází jednou nebo druhou štěrbinou nebo oběma. Jednou z možností je mít kolem štěrbin cívky, které detekují náboje pohybující se jimi. Je pozorováno, že elektron vždy prochází jednou nebo druhou štěrbinou; nerozděluje se, aby prošel oběma. Ale je v tom háček. Pokud zjistíte, že elektron prošel jednou ze štěrbin, již nedostanete dvojitý štěrbinový vzor – místo toho získáte interferenci s jednou štěrbinou. Nelze uniknout použitím jiné metody určování, kterou štěrbinou prošel elektron. Vědomí, že částice prošla jednou štěrbinou, nutí vzor s jednou štěrbinou. Pokud nepozorujete, kterou štěrbinou prochází elektron, získáte vzor s dvojitou štěrbinou.

Heisenbergova nejistota

Jak změna vzoru mění znalost, kterou štěrbinou prošel elektron? Odpověď je zásadně důležitá – měření ovlivňuje sledovaný systém. Informace mohou být ztraceny a v některých případech není možné přesně měřit dvě fyzikální veličiny současně. Můžete například měřit polohu pohybujícího se elektronu rozptylem světla nebo jiných elektronů z něj.Tyto sondy mají hybnost samy a rozptylem z elektronu mění jeho hybnost způsobem, který ztrácí informace. Absolutní poznání má své limity, a to i v zásadě.

Byl to Werner Heisenberg, kdo poprvé uvedl toto omezení znalostí v roce 1929 v důsledku své práce na kvantové mechanice a vlnových charakteristikách všech částic . (Viz obrázek 3). Konkrétně zvažte současné měření polohy a hybnosti elektronu (může to být jakákoli částice). V poloze Δx existuje nejistota, která se přibližně rovná vlnové délce částice. To znamená, Δx ≈ λ.

Jak bylo uvedeno výše, vlna se nenachází v jednom bodě v prostoru. Pokud se poloha elektronu měří opakovaně, bude pozorováno rozpětí v místech, což znamená nejistotu v poloze Δx. Abychom zjistili polohu částice, musíme s ní interagovat, například nechat ji narazit do detektoru. Při srážce ztratí částice hybnost. Tato změna hybnosti může být kdekoli od téměř nuly k celkové hybnosti částice, p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Není možné určit, kolik hybnosti se přenese na detektor, a tak také existuje nejistota v hybnosti Δp. Ve skutečnosti může být nejistota hybnosti stejně velká jako hybnost samotná, což ve formě rovnice znamená, že \ Delta {p} \ přibližně \ frac {h} {\ lambda} \\.

Nejistota v poloze lze snížit použitím elektronu s kratší vlnovou délkou, protože Δx ≈ λ. Ale zkrácení vlnové délky zvyšuje nejistotu hybnosti, protože p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Naopak nejistotu v hybnosti lze snížit použitím elektronu s delší vlnovou délkou, ale to zvyšuje nejistotu v poloze. Matematicky můžete tento kompromis vyjádřit vynásobením nejistot. Vlnová délka se ruší a ponechá ΔxΔp ≈ h.

Takže pokud se sníží jedna nejistota, druhá se musí zvětšit, aby jejich součin byl ≈h.

Toto se nazývá Heisenbergův princip nejistoty . Je nemožné měřit polohu x a hybnost p současně s nejistotami Δx a Δp, které se množí a jsou menší než \ frac {h} {4 \ pi} \\. Ani nejistota nemůže být nulová. Ani nejistota nemůže být malá, aniž by se druhá stala velkou. Malá vlnová délka umožňuje přesné měření polohy, ale zvyšuje hybnost sondy do té míry, že dále narušuje hybnost měřeného systému. Například pokud je elektron rozptýlen z atomu a má vlnovou délku dostatečně malou na to, aby detekoval polohu elektronů v atomu, jeho hybnost může srazit elektrony z jejich drah takovým způsobem, že ztratí informace o jejich původním pohybu. Je tedy nemožné sledovat elektron na jeho oběžné dráze kolem atomu. Pokud změříte polohu elektronu, najdete jej na určitém místě, ale atom bude narušen. Opakovaná měření na identických atomech vytvoří zajímavé rozdělení pravděpodobnosti pro elektrony kolem atomu, ale nebudou produkovat informace o pohybu. Distribuce pravděpodobnosti se označují jako elektronové mraky nebo orbitaly. Tvary těchto orbitalů jsou často ukázány v obecných textech o chemii a jsou diskutovány v The Wave Nature of Matter Causes Quantization.

Proč si nevšimneme Heisenbergova principu nejistoty v každodenním životě? Odpověď je, že Planckova konstanta je velmi malá. Dolní mez nejistoty měření polohy a hybnosti velkých objektů je tedy zanedbatelná. Můžeme detekovat sluneční světlo odražené od Jupitera a sledovat planetu na její oběžné dráze kolem Slunce. Odražené sluneční světlo mění hybnost Jupitera a vytváří nejistotu v jeho hybnosti, ale ve srovnání s obrovskou hybností Jupitera je to naprosto zanedbatelné. Princip korespondence nám říká, že předpovědi kvantové mechaniky se u velkých objektů stanou k nerozeznání od klasické fyziky, což je tento případ.

Heisenbergova nejistota pro energii a čas

Existuje ještě další forma Heisenbergova principu neurčitosti pro simultánní měření energie a času. Ve tvaru rovnice \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, kde ΔE je nejistota v energii a Δt je nejistota v čase.To znamená, že v časovém intervalu Δt není možné přesně měřit energii – v měření bude nejistota ΔE. Abychom mohli měřit energii přesněji (aby se ΔE zmenšila), musíme zvýšit Δt. Tímto časovým intervalem může být doba, kterou potřebujeme k provedení měření, nebo to může být doba, po kterou konkrétní stav existuje, jako v následujícím příkladu 2.

Princip neurčitosti pro energii a čas může mít velký význam, pokud je životnost systému velmi krátká. Pak Δt je velmi malý a ΔE je následně velmi velký. Některá jádra a exotické částice mají extrémně krátkou životnost (pouhých 10–25 s), což způsobuje nejistoty v energii stejně velké jako GeV (109 eV). Uložená energie se jeví jako zvýšená klidová hmotnost, což znamená, že v klidové hmotnosti krátkotrvajících částic existuje značná nejistota. Při opakovaném měření se získá šíření hmot nebo energie rozpadu. Spread je ΔE. Mohli byste se zeptat, zda by se této nejistotě v energii dalo zabránit měřením životnosti. Odpověď je ne. Příroda zná celý život, a tak její stručnost ovlivňuje energii částice. To je experimentálně tak dobře prokázáno, že nejistota energie rozpadu se používá k výpočtu životnosti krátkodobých stavů. Některá jádra a částice jsou tak krátkodobé, že je těžké měřit jejich životnost. Pokud však lze měřit jejich energii rozpadu, její šíření je ΔE, a to se používá v principu neurčitosti \ left (\ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \ right) \\ pro výpočet životnosti Δt.

Existuje další důsledek principu nejistoty pro energii a čas. Pokud je energie nejistá o ΔE, pak může být zachování energie narušeno o ΔE po dobu Δt. Fyzik ani příroda nemohou říci, že došlo k porušení ochrany energie, pokud je porušení dočasné a menší než nejistota v energii. I když to zní dostatečně neškodně, v dalších kapitolách uvidíme, že umožňuje dočasné vytvoření hmoty z ničeho a má důsledky pro to, jak příroda přenáší síly na velmi malé vzdálenosti.

Nakonec si povšimněte, že v diskusi o částice a vlny, uvedli jsme, že jednotlivá měření produkují přesné nebo částicové výsledky. Definitivní poloha je určena pokaždé, když pozorujeme například elektron. Opakovaná měření však způsobují rozpětí hodnot konzistentních s vlnovými charakteristikami. Velký teoretický fyzik Richard Feynman (1918–1988) poznamenal: „Co tam jsou, jsou částice.“ Když jich pozorujete dost, distribuují se tak, jak byste očekávali u vlnového jevu. To, co existuje, když cestují, však nemůžeme říct, protože když se pokusíme měřit, ovlivníme to cestování.

Shrnutí oddílu

• Bylo zjištěno, že hmota má stejné interferenční charakteristiky jako kterákoli jiná vlna.
• Nyní existuje rozdělení pravděpodobnosti pro umístění částice spíše než pro určitou Pozice.
• Dalším důsledkem vlnového charakteru všech částic je Heisenbergův princip neurčitosti, který omezuje přesnost, se kterou lze současně znát určité fyzikální veličiny. Pro pozici a hybnost je princip neurčitosti \ Delta { x} \ Delta {p} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, kde Δx je nejistota polohy a Δp je nejistota hybnosti.
• Pro energii a čas platí princip nejistoty je \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\ kde ΔE je nejistota v energii a Δt je nejistota v čase.
• Tyto malé limity jsou zásadně důležité v kvantově-mechanickém měřítku.

Slovník

Heisenbergův princip neurčitosti: základní omezení přesnosti, s jakou jsou páry veličin (hybnost) a poloha a energie a čas) lze měřit

nejistota v energii: nedostatek přesnosti nebo nedostatek znalostí přesných výsledků v měření energie

nejistota v čase: nedostatek přesnosti nebo nedostatek znalostí přesných výsledků měření času

nejistota hybnosti: nedostatek přesnosti nebo nedostatek znalostí přesných výsledků měření hybnosti

nejistota polohy: nedostatečná přesnost nebo nedostatek znalostí přesných výsledků v měření polohy

rozdělení pravděpodobnosti: celkové prostorové rozdělení pravděpodobností k nalezení částice v daném místě