Biografi

Archimedes ”far var Phidias, en astronom. Vi vet inget annat om Phidias än detta faktum och vi vet bara detta sedan Archimedes ger oss denna information i ett av hans verk, The Sandreckoner. En vän till Archimedes som heter Heracleides skrev en biografi om honom men tyvärr går detta arbete förlorat. Hur vår kunskap om Archimedes skulle förvandlas om detta förlorade arbete någonsin hittades, eller utdrag som hittades i skrifter av andra.
Archimedes var en infödd i Syracuse, Sicilien. Det rapporteras av vissa författare att han besökte Egypten och där uppfann en enhet som nu kallas Archimedes ”skruv. Detta är en pump som fortfarande används i många delar av världen. Det är mycket troligt att Archimedes, när han var ung, studerade med efterträdarna till Euclid i Alexandria. Visst var han helt bekant med den matematik som utvecklades där, men vad som gör denna gissning mycket mer säker, han kände personligen matematikerna som arbetar där och han skickade sina resultat till Alexandria med personliga meddelanden. Han ansåg Conon av Samos, en av matematikerna i Alexandria, båda mycket högt för hans förmågor som matematiker och han betraktade honom också som en nära vän.
I förordet till On spirals berättar Archimedes en underhållande berättelse om sina vänner i Alexandria. Han berättar att han hade för vana att skicka dem uttalanden om sina senaste satser, men utan att ge bevis. Uppenbarligen hade några av matematikerna där hävdat resultaten som sina egna, så Archimedes säger att vid sista tillfället när han skickade dem satser inkluderade han två som var falska: –

… så att de som hävdar att de upptäcker allt, men inte ger några bevis på detsamma, kan betraktas som att ha låtsats ha upptäckt det omöjliga.

Annat än i förord till hans verk, information Archimedes kommer till oss från ett antal källor som i berättelser från Plutarch, Livy och andra. Plutarch berättar att Archimedes var släkt med kung Hieron II av Syracuse (se till exempel): –

Archimedes … skriftligen till kung Hiero, vars vän och nära relation han var. …

Återigen bevis för åtminstone hans vänskap med familjen till kung Hieron II kommer från det faktum att The Sandreckoner var tillägnad Gelon, son till kung Hieron.
Det finns faktiskt ett stort antal hänvisningar till Archimedes i tidens skrifter för han hade fått ett rykte på sin egen tid som få andra matematiker under denna period uppnådde. Anledningen till detta var inte ett stort intresse för nya matematiska idéer utan snarare att Archimedes hade uppfunnit många maskiner som användes som krigsmotorer. Dessa var särskilt effektiva i försvaret av Syracuse när det attackerades av romarna under ledning av Marcellus.

Plutarch skriver i sitt arbete om Marcellus, den romerska befälhavaren, om hur Archimedes ”krigsmotorer användes mot romarna i belägringen 212 f.Kr.: –

… när Archimedes började lägga på sina motorer, sköt han genast mot landstyrkorna alla slags missilvapen och enorma stenmassor som kom ned med otroligt buller och våld, mot vilket ingen kunde stå emot, för de slog ner dem på vilka de föll i högar och bröt alla sina led och filer. Under tiden kastade enorma stolpar ut från murarna över fartygen och sänkte några med stora vikter som de släpper ned från högt upp på dem, andra lyfter de upp i luften med en järnhand eller näbb som en kranbeck och när de hade dragit upp dem med föret och satte dem på bajs, de kastade dem till havets botten; Annars drogs fartygen med motorer inuti och virvlade runt mot branta stenar som stod ut under väggarna, med stor förstörelse av soldaterna som var ombord på dem. Ett fartyg lyfts ofta upp till en hög höjd i luften (en fruktansvärd sak att se) och rullades fram och tillbaka och fortsatte att svänga tills sjömännen alla kastades ut, när det längst ner slogs mot klipporna, eller låt falla.

Archimedes hade övertalats av sin vän och relation till kung Hieron att bygga sådana maskiner: –

Dessa maskiner hade konstruerat och konstruerade, inte som saker av någon betydelse, utan som bara nöjen i geometri; i överensstämmelse med King Hieros önskan och begäran, lite tid innan, att han skulle minska för att utöva en del av sin beundransvärda spekulation i vetenskapen och genom att tillgodose den teoretiska sanningen till sensation och vanlig användning, föra den mer inom uppskattningen av folket i allmänhet.

Kanske är det sorgligt att krigsmotorer uppskattades av folket i denna tid på ett sätt som teoretisk matematik inte var, men man måste påpeka att världen inte är en mycket annan plats i slutet av det andra millenniet e.Kr. Andra uppfinningar av Archimedes som den sammansatta remskivan gav honom också stor berömmelse bland hans samtida. Återigen citerar vi Plutarch: –

hade sagt att med tanke på kraften kan varje given vikt flyttas, och till och med skryta, får vi höra, förlitar sig på demonstrationens styrka att var en annan jord, genom att gå in i den kunde han ta bort detta. Hiero slogs med förvåning över detta och uppmanade honom att avhjälpa detta problem genom faktiskt experiment, och visa en del stor vikt som rördes av en liten motor, fixade han därefter på ett lastfartyg ut ur kungens arsenal, som inte kunde dras ut ur bryggan utan stor arbetskraft och många män, och laddar henne med många passagerare och full frakt, sitter sig själv långt borta, utan någon större strävan, utan bara håller huvudet på remskivan i handen och drar sladdarna gradvis, drog han skeppet i en rak linje, lika smidigt och jämnt som om hon hade varit i havet.

Ändå Archimedes, även om han uppnådde berömmelse genom sina mekaniska uppfinningar , trodde att ren matematik var den enda värda strävan. Återigen beskriver Plutarch vackert Archimedes attityd, men vi kommer senare att se att Archimedes faktiskt använde några mycket praktiska metoder för att upptäcka resultat från ren geometri: –

Archimedes hade så hög a anda, så djupgående själ och sådana skatter av vetenskaplig kunskap, att även om dessa uppfinningar nu hade fått honom ett rykte om mer än mänsklig sagacity, skulle han ändå inte värna att lämna efter sig några kommentarer eller skrivningar om sådana ämnen; men, avskedande som sordid och ignorera hela ingenjörsbranschen, och alla slags konst som lämpar sig för enbart användning och vinst, placerade han hela sin tillgivenhet och ambition i de renare spekulationer där det inte finns någon hänvisning till livets vulgära behov ; studier vars överlägsenhet gentemot alla andra inte är ifrågasatta, och där det enda tvivel kan vara om skönheten och storheten hos de undersökta ämnena, om precisionen och kogniciteten hos metoderna och bevismedlen, mest förtjänar vår beundran. id = ”9e04897abd”> Hans fascination för geometri beskrivs vackert av Plutarch: –

Oftimes Archimedes ”tjänare fick honom mot sin vilja till baden, att tvätta och smörja honom, och ändå vara där, skulle han någonsin rita ut ur de geometriska figurerna, till och med i skorstenens glöd. Och medan de smorde honom med oljor och söta savors, drog han med fingrarna linjer på sin nakna kropp , hittills togs han ifrån sig själv och fördes i extas eller trance, med den glädje han hade i studiet av geometri.

Arkimedes prestationer är helt enastående. Han anses vara av de flesta historiker inom matematik som en av de största matematikerna genom tiderna . Han perfektionerade en metod för integration som gjorde det möjligt för honom att hitta områden, volymer och ytarea för många kroppar. Chasles sa att Archimedes ”arbetar med integration (se): –

… födde kalkylen för det oändliga tänkta och förverkligades av Kepler, Cavalieri, Fermat, Leibniz och Newton.

Archimedes kunde tillämpa metoden för utmattning, som är den tidiga formen av integration, för att få en rad viktiga resultat och vi nämner några av dessa i beskrivningarna av hans verk nedan. Archimedes gav också en exakt uppskattning av π och visade att han kunde approximera kvadratrötter exakt. Han uppfann ett system för att uttrycka ett stort antal. I mekanik upptäckte Archimedes grundläggande satser om tyngdpunkten för planfigurer och fasta ämnen berömda satsen ger vikten av en kropp nedsänkt i en vätska, som kallas Archimedes-principen.
Arken från Archimedes som har överlevt är följande. På plana jämvikter (två böcker), parabollens kvadratur, På sfären och cylindern (två böcker), På spiraler, På konoider och sfäroider, På flytande kroppar (två böcker), Mätning av en cirkel och Sandreckoner. Sommaren 1906 upptäckte JL Heiberg, professor i klassisk filologi vid Köpenhamns universitet, ett manuskript från 10-talet som inkluderade Archimedes ”verk Metoden. Detta ger en anmärkningsvärd inblick i hur Archimedes upptäckte många av hans resultat och vi kommer att diskutera detta nedan när vi har gett ytterligare detaljer om vad som finns i de överlevande böckerna.
Ordningen i vilken Archimedes skrev sina verk är inte känd med säkerhet.Vi har använt den kronologiska ordningen som Heath föreslog i listan över dessa verk ovan, förutom Metoden som Heath har placerat omedelbart före på sfären och cylindern. Papperet tittar på argument för en annan kronologisk ordning av Archimedes ”verk.
Avhandlingen om planjämvikt beskriver de grundläggande principerna för mekanik, med hjälp av metoderna för geometri. Archimedes upptäckte grundläggande satser om tyngdpunkten för planfigurer och Dessa ges i detta arbete. I synnerhet hittar han i bok 1 tyngdpunkten för ett parallellogram, en triangel och ett trapets. Bok två ägnas helt åt att hitta tyngdpunkten för ett segment av en parabel. kvadraturen för parabolen Archimedes hittar området för ett segment av en parabel som skärs av vilket ackord som helst.
I den första boken om sfären och cylindern visar Archimedes att ytan på en sfär är fyra gånger större än en stor cirkel , han hittar området för vilket som helst segment av en sfär, han visar att en sfärs volym är två tredjedelar av volymen för en begränsad cylinder och att ytan på en sfär är två tredjedelar av ytan på en begränsad cylinder inkl. luding dess baser. En bra diskussion om hur Archimedes kan ha lett till att några av dessa resultat med hjälp av infinitesimals ges i. I den andra boken i detta arbete är Archimedes ”viktigaste resultatet att visa hur man skär en given sfär med ett plan så att förhållandet mellan volymerna för de två segmenten har ett föreskrivet förhållande.
In On spirals definierar Archimedes en spiral , ger han grundläggande egenskaper som förbinder radiusvektorns längd med de vinklar genom vilka den har kretsat. Han ger resultat på tangenter till spiralen samt att hitta området för delar av spiralen. I arbetet Om konoider och sfäroider undersöker Archimedes paraboloider av revolution, hyperboloider av revolution och sfäroider erhållna genom att rotera en ellips antingen om dess huvudaxel eller om dess mindre axel. Huvudsyftet med arbetet är att undersöka volymen av segment av dessa tredimensionella figurer. Vissa hävdar att det finns brist på noggrannhet i vissa av resultaten av detta arbete men den intressanta diskussionen i tillskriver detta till en modern rekonstruktion.
Om flytande kroppar är ett verk där Archimedes lägger ner ba sic-principerna för hydrostatik. Hans mest berömda sats som ger vikten av en kropp nedsänkt i en vätska, kallad Archimedes ”-principen, ingår i detta arbete. Han studerade också stabiliteten hos olika flytande kroppar med olika former och olika specifik vikt. I Mätning av Circle Archimedes visar att det exakta värdet av π ligger mellan värdena 310713 \ large \ frac {10} {71} \ normalsize37110 och 3173 \ large \ frac {1} {7} \ normalsize371. Detta fick han genom att beskriva och skriva en cirkel med vanliga polygoner med 96 sidor.
Sandreckoner är ett anmärkningsvärt arbete där Archimedes föreslår ett nummersystem som kan uttrycka tal upp till 8 × 10638 \ gånger 10 ^ {63} 8 × 1063 i modern notation. Han argumenterar i detta arbeta att detta antal är tillräckligt stort för att räkna antalet sandkorn som kan passas in i universum. Det finns också viktiga historiska anmärkningar i detta arbete, för Archimedes måste ge universums dimensioner för att kunna räkna antalet av sandkorn whi ch det kan innehålla. Han säger att Aristarchus har föreslagit ett system med solen i centrum och planeterna, inklusive jorden, som kretsar kring det. När han citerar resultat om dimensionerna anger han resultat på grund av Eudoxus, Phidias (hans far) och Aristarchus. Det finns andra källor som nämner Archimedes ”arbeta med avstånd till himlakropparna. Till exempel i Osborne rekonstruerar och diskuterar: –

… en teori om avstånden till himmelskropparna tillskrivs till Archimedes, men det korrupta tillståndet för siffrorna i det enda överlevande manuskriptet betyder att materialet är svårt att hantera.

I metoden beskrev Archimedes hur han upptäckte många av hans geometriska resultat (se): –

… vissa saker blev först tydliga för mig med en mekanisk metod, även om de måste bevisas med geometri efteråt eftersom deras undersökning av nämnda metoden gav inte ett faktiskt bevis, men det är naturligtvis lättare, när vi tidigare har förvärvat viss kunskap om frågorna, att leverera beviset än att hitta det utan någon tidigare kunskap.

Kanske är briljansen hos Archimedes ”geometriska resultat st sammanfattas av Plutarch, som skriver: –

Det är inte möjligt att hitta svårare och mer komplicerade frågor i all geometri eller mer enkla och klara förklaringar. Vissa tillskriver detta till hans naturliga geni; medan andra tycker att otroligt ansträngning och slit producerade dessa, till alla utseenden, enkla och obetydliga resultat.Ingen undersökning av dig skulle lyckas uppnå beviset, och ändå, när du väl sett det, tror du omedelbart att du skulle ha upptäckt det; genom en så smidig och så snabb väg han leder dig till den slutsats som krävs.

Heath lägger till sin åsikt om kvaliteten på Archimedes ”arbete: –

Avhandlingarna är, utan undantag, monument över den matematiska redogörelsen; den gradvisa avslöjandet av attackplanen, den mästerliga ordningen av propositionerna, den hårda eliminering av allt som inte är direkt relevant för syftet, slutförandet av helheten, är så imponerande i sin perfektion att de skapar en känsla som liknar vördnad i läsarens sinne.

Det finns referenser till andra verk av Archimedes som nu är förlorade. Pappus hänvisar till ett verk av Archimedes om halvregelbunden polyeder, Archimedes själv hänvisar till ett arbete om nummersystemet som han föreslog i Sandreckoner, Pappus nämner en avhandling om saldon och spakar, och Theon nämner en avhandling av Archimedes om speglar. Bevis för ytterligare förlorade verk är diskuteras i men bevisen är inte total var övertygande.
Archimedes dödades 212 f.Kr. under romarnas tillfångatagande av Syracuse i andra puniska kriget efter att alla hans ansträngningar att hålla romarna i schack med sina krigsmaskiner misslyckades. Plutarch berättar om tre versioner av historien om hans mord som hade kommit ner till honom. Den första versionen: –

Archimedes … var …, som ödet skulle ha det, avsikt att lösa något problem med ett diagram och ha fixat sitt sinne lika och hans med tanke på föremålet för hans spekulation, märkte han aldrig romarnas intrång, inte heller att staden togs. I denna transport av studier och kontemplation befallde en soldat, oväntat fram till honom, honom att följa till Marcellus; som han avböjde att göra innan han hade utarbetat sitt problem till en demonstration, upprörd soldaten, drog sitt svärd och sprang honom igenom.

Den andra versionen: –

… en romersk soldat, som sprang på honom med ett dragit svärd, erbjöd sig att döda honom; och att Archimedes, bakåtblickande, uppriktigt bad honom att hålla i handen en liten stund, för att han inte skulle lämna det han då arbetade på obetydlig och ofullkomlig; men soldaten, ingenting som rördes av hans begäran, dödade honom omedelbart.

Slutligen den tredje versionen som Plutarch hade hört: –

. … när Archimedes bar till Marcellus matematiska instrument, urtavlor, sfärer och vinklar, genom vilka solens storlek kunde mätas till synen, såg några soldater honom och tänkte att han bar guld i ett kärl, dödade honom.

Archimedes ansåg att hans mest betydelsefulla prestationer var de som rör en cylinder som avgränsar en sfär, och han bad om en representation av detta tillsammans med sitt resultat på förhållandet mellan de två som skulle skrivas in på hans grav. Cicero var på Sicilien år 75 f.Kr. och han skriver hur han letade efter Archimedes grav (se till exempel): –

… och fann att den var innesluten runt och täckt med brambles och tjocklekar ; för jag kom ihåg vissa doggerel linjer inskrivna, som jag hade hört, på hans grav, som angav att en sfär tillsammans med en cylinder hade placerats ovanpå hans grav. Följaktligen, efter att ha tittat väl runt … märkte jag en liten kolumn som uppstod lite ovanför buskarna, på vilken det fanns en figur av en sfär och en cylinder …. Slavar skickades in med skäror … och när en passage till platsen öppnades närmade vi oss piedestalen framför oss; epigramet var spårbart med ungefär hälften av raderna läsbara, eftersom den senare delen var utsliten.

Det är kanske förvånande att arkimedes matematiska verk var relativt lite kända direkt efter hans död . Som Clagett skriver i: –

Till skillnad från Euklides element var Archimedes verk inte allmänt kända i antiken. … Det är sant att … enskilda verk av Archimedes uppenbarligen studerades i Alexandria, eftersom Archimedes ofta citerades av tre framstående matematiker i Alexandria: Heron, Pappus och Theon.

Först efter att Eutocius tog fram utgåvor av några av Archimedes verk, med kommentarer, på 600-talet e.Kr., blev de anmärkningsvärda avhandlingarna mer kända. Slutligen är det värt att påpeka att testet som används idag för att avgöra hur nära originaltexten de olika versionerna av hans avhandlingar av Archimedes är, är att avgöra om de har behållit Archimedes ”Dorian-dialekt.