Biografia

Arquimedes “o pai de Arquimedes era Fídias, um astrônomo. Não sabemos nada mais sobre Fídias além desse fato e só sabemos disso desde então Arquimedes nos dá essa informação em uma de suas obras, O Sandreckoner. Um amigo de Arquimedes chamado Heracleides escreveu uma biografia dele, mas infelizmente esta obra se perdeu. Como nosso conhecimento de Arquimedes seria transformado se essa obra perdida fosse encontrada, ou mesmo extratos encontrados na escrita de outros.
Arquimedes era natural de Siracusa, na Sicília. Alguns autores relatam que ele visitou o Egito e lá inventou um dispositivo agora conhecido como parafuso de Arquimedes. Esta é uma bomba, ainda usada em muitas partes do mundo. É muito provável que, quando jovem, Arquimedes tenha estudado com os sucessores de Euclides em Alexandria. Certamente ele estava completamente familiarizado com a matemática desenvolvida ali, mas o que torna essa conjectura muito mais certa, ele conhecia pessoalmente os matemáticos que ali trabalhavam e enviava seus resultados a Alexandria com mensagens pessoais. Ele considerava Conon de Samos, um dos matemáticos de Alexandria, tanto por suas habilidades como matemático, como também o considerava um amigo próximo.
No prefácio de Sobre espirais, Arquimedes relata uma história divertida sobre seus amigos em Alexandria. Ele nos diz que tinha o hábito de enviar-lhes declarações de seus últimos teoremas, mas sem dar provas. Aparentemente, alguns dos matemáticos reivindicaram os resultados como seus próprios, então Arquimedes diz que na última ocasião, quando os enviou teoremas, ele incluiu dois que eram falsos: –

… então que aqueles que afirmam descobrir tudo, mas não apresentam provas do mesmo, podem ser refutados como tendo fingido descobrir o impossível.

Exceto nos prefácios de suas obras, informações sobre Arquimedes chega até nós de várias fontes, como nas histórias de Plutarco, Tito Lívio e outros. Plutarco nos diz que Arquimedes era parente do Rei Hieron II de Siracusa (ver por exemplo): –

Arquimedes … por escrito ao Rei Hiero, de quem era amigo e parente próximo. …

Mais uma vez, a evidência de pelo menos sua amizade com a família do Rei Hieron II vem do fato de que O Sandreckoner foi dedicado a Gelon, filho do Rei Hieron.
Há, de fato, um grande número de referências a Arquimedes nos escritos da época, pois ele ganhou uma reputação em sua própria época que poucos outros matemáticos desse período alcançaram. A razão para isso não foi um amplo interesse em novas idéias matemáticas, mas sim que Arquimedes havia inventado muitas máquinas que foram usadas como motores de guerra. Eles foram particularmente eficazes na defesa de Siracusa quando foi atacada pelos romanos sob o comando de Marcelo.

Plutarco escreve em seu trabalho sobre Marcelo, o comandante romano, sobre como as “máquinas de guerra de Arquimedes foram usadas contra os romanos em o cerco de 212 aC: –

… quando Arquimedes começou a operar seus motores, ele imediatamente atirou contra as forças terrestres todos os tipos de armas de mísseis e imensas massas de pedra que desceu com incrível barulho e violência; contra os quais nenhum homem poderia resistir; pois eles derrubaram aqueles sobre os quais caíram aos montes, quebrando todas as suas fileiras e fileiras. Nesse ínterim, enormes mastros foram lançados das paredes sobre os navios e afundaram alguns por grandes pesos que eles baixam do alto sobre eles; outros eles levantam no ar por uma mão de ferro ou bico como o bico de uma garça e, quando eles os puxam pela proa, e os colocam em pé sobre a popa, eles os mergulharam no fundo do mar; ou então os navios, puxados por motores internos, e girando, eram chocados contra rochas íngremes que se projetavam sob as paredes, com grande destruição dos soldados que estavam a bordo. Um navio era frequentemente levantado a uma grande altura no ar (uma coisa terrível de se ver), e era rolado de um lado para outro, e continuava balançando, até que os marinheiros fossem todos atirados para fora, quando por fim foi atirado contra as rochas, ou deixe cair.

Arquimedes foi persuadido por seu amigo e parente Rei Hieron a construir tais máquinas: –

Estas máquinas projetaram e planejado, não como assuntos de qualquer importância, mas como meros divertimentos em geometria; em conformidade com o desejo e pedido do Rei Hiero, há pouco tempo, de que ele reduzisse à prática alguma parte de sua admirável especulação na ciência, e acomodando a verdade teórica à sensação e ao uso comum, trazendo-a mais para a apreciação de as pessoas em geral.

Talvez seja triste que as máquinas de guerra fossem apreciadas pelas pessoas desta época de uma forma que a matemática teórica não era, mas seria preciso observar que o mundo não é muito lugar diferente no final do segundo milênio DC. Outras invenções de Arquimedes, como a polia composta, também lhe trouxeram grande fama entre seus contemporâneos. Novamente citamos Plutarco: –

afirmou que dada a força, qualquer peso pode ser movido, e até mesmo se gabou, dizem, contando com a força da demonstração, que se houvesse se fosse outra terra, entrando nela ele poderia removê-la. Hiero ficando surpreso com isso, e suplicando-lhe que resolvesse o problema por meio de experimentos reais, e mostrasse algum grande peso movido por um pequeno motor, ele se fixou em um navio de carga fora do arsenal do rei, que não podia ser retirado do cais sem grande trabalho e muitos homens; e, carregando-a com muitos passageiros e uma carga completa, sentando-se um pouco longe, sem grande esforço, mas apenas segurando a cabeça da polia em sua mão e puxando as cordas aos poucos, ele desenhou o navio em linha reta, tão suave e uniformemente como se ela tivesse estado no mar.

No entanto, Arquimedes, embora tenha alcançado a fama por suas invenções mecânicas , acreditava que a matemática pura era a única busca digna. Novamente Plutarco descreve lindamente a atitude de Arquimedes, mas veremos mais tarde que Arquimedes de fato usou alguns métodos muito práticos para descobrir resultados de geometria pura: –

Arquimedes possuía uma tão alta espírito, uma alma tão profunda, e tantos tesouros de conhecimento científico, que embora essas invenções tivessem agora obtido a fama de mais do que sagacidade humana, ele ainda não se dignou a deixar atrás de si qualquer comentário ou escrito sobre tais assuntos; mas, repudiando como sórdido e ignóbil todo o comércio da engenharia, e todo tipo de arte que se presta ao mero uso e lucro, ele colocou todo o seu afeto e ambição nessas especulações mais puras onde não pode haver referência às necessidades vulgares da vida ; estudos, cuja superioridade sobre todos os outros é inquestionável, e nos quais a única dúvida pode ser se a beleza e grandiosidade dos assuntos examinados, da precisão e força dos métodos e meios de prova, mais merecem nossa admiração.

Seu fascínio pela geometria é lindamente descrito por Plutarco: –

Muitas vezes os servos de Arquimedes “o levavam contra sua vontade para os banhos, para lavar e ungir ele, e ainda estando lá, ele estaria sempre desenhando nas figuras geométricas, mesmo nas próprias brasas da chaminé. E enquanto eles o ungiam com óleos e sabores doces, com seus dedos ele desenhava linhas sobre seu corpo nu , até agora ele foi tirado de si mesmo e levado ao êxtase ou transe, com o prazer que tinha no estudo da geometria.

As conquistas de Arquimedes são bastante notáveis. Ele é considerado pela maioria dos historiadores da matemática como um dos maiores matemáticos de todos os tempos . Ele aperfeiçoou um método de integração que lhe permitiu encontrar áreas, volumes e áreas de superfície de muitos corpos. Chasles disse que Arquimedes “trabalha na integração (ver): –

… deu origem ao cálculo do infinito concebido e aperfeiçoado por Kepler, Cavalieri, Fermat, Leibniz e Newton.

Arquimedes foi capaz de aplicar o método da exaustão, que é a forma inicial de integração, para obter uma ampla gama de resultados importantes e mencionamos alguns deles nas descrições de suas obras abaixo. Arquimedes também deu uma aproximação precisa de π e mostrou que podia aproximar raízes quadradas com precisão. Ele inventou um sistema para expressar grandes números. Na mecânica, Arquimedes descobriu teoremas fundamentais relativos ao centro de gravidade de figuras planas e sólidos. famoso teorema dá o peso de um corpo imerso em um líquido, chamado princípio de Arquimedes.

As obras de Arquimedes que sobreviveram são as seguintes. Sobre equilíbrios planos (dois livros), Quadratura da parábola, Sobre a esfera e cilindro (dois livros), Sobre espirais, Sobre conóides e esferóides, Sobre corpos flutuantes (dois livros), Medição de um círculo e O Sandreckoner. No verão de 1906, JL Heiberg, professor de filologia clássica na Universidade de Copenhague, descobriu um manuscrito do século 10 que incluía a obra de Arquimedes “O método. Isso fornece uma visão notável de como Arquimedes descobriu muitos de seus resultados e discutiremos isso abaixo, uma vez que fornecemos mais detalhes do que está nos livros sobreviventes.
A ordem em que Arquimedes escreveu suas obras não é conhecida com certeza.Usamos a ordem cronológica sugerida por Heath ao listar essas obras acima, exceto para O Método que Heath colocou imediatamente antes da esfera e do cilindro. O artigo analisa os argumentos para uma ordem cronológica diferente dos trabalhos de Arquimedes.
O tratado Sobre os equilíbrios planos estabelece os princípios fundamentais da mecânica, usando os métodos da geometria. Arquimedes descobriu teoremas fundamentais sobre o centro de gravidade de figuras planas e estes são dados neste trabalho. Em particular, ele encontra, no livro 1, o centro de gravidade de um paralelogramo, um triângulo e um trapézio. O livro dois é inteiramente dedicado a encontrar o centro de gravidade de um segmento de uma parábola. a quadratura da parábola Arquimedes encontra a área de um segmento de uma parábola cortada por qualquer corda.
No primeiro livro de Sobre a esfera e cilindro, Arquimedes mostra que a superfície de uma esfera é quatro vezes maior que a de um grande círculo , ele encontra a área de qualquer segmento de uma esfera, ele mostra que o volume de uma esfera é dois terços do volume de um cilindro circunscrito, e que a superfície de uma esfera é dois terços da superfície de um cilindro circunscrito inc ludindo suas bases. Uma boa discussão de como Arquimedes pode ter sido levado a alguns desses resultados usando infinitesimais é fornecida em. No segundo livro desta obra, Arquimedes “o resultado mais importante é mostrar como cortar uma dada esfera por um plano de forma que a relação dos volumes dos dois segmentos tenha uma relação prescrita.
Em Sobre espirais Arquimedes define uma espiral , ele fornece propriedades fundamentais conectando o comprimento do vetor do raio com os ângulos através dos quais ele girou. Ele fornece resultados sobre as tangentes à espiral, bem como encontra a área de porções da espiral. No trabalho Sobre conóides e esferóides, Arquimedes examina parabolóides de revolução, hiperbolóides de revolução e esferóides obtidos pela rotação de uma elipse em torno de seu eixo maior ou menor. O objetivo principal do trabalho é investigar o volume dos segmentos dessas figuras tridimensionais. Alguns afirmam que existe falta de rigor em alguns dos resultados deste trabalho, mas a interessante discussão em atribui isto a uma reconstrução moderna.

Sobre corpos flutuantes é uma obra em que Arquimedes estabelece o ba princípios sic da hidrostática. Seu teorema mais famoso, que dá o peso de um corpo imerso em um líquido, denominado princípio de Arquimedes, está contido neste trabalho. Ele também estudou a estabilidade de vários corpos flutuantes de diferentes formas e diferentes gravidades específicas. Na medição do círculo Arquimedes mostra que o valor exato de π está entre os valores 310713 \ large \ frac {10} {71} \ normalsize37110 e 3173 \ large \ frac {1} {7} \ normalsize371. Isso ele obteve circunscrevendo e inscrevendo um círculo com polígonos regulares com 96 lados.
O Sandreckoner é uma obra notável em que Arquimedes propõe um sistema numérico capaz de expressar números até 8 × 10638 \ vezes 10 ^ {63} 8 × 1063 na notação moderna. Ele argumenta nisso trabalho que esse número é grande o suficiente para contar o número de grãos de areia que poderiam ser encaixados no universo. Há também importantes observações históricas neste trabalho, pois Arquimedes tem que dar as dimensões do universo para poder contar o número de grãos de areia que ch que poderia conter. Ele afirma que Aristarco propôs um sistema com o Sol no centro e os planetas, incluindo a Terra, girando em torno dele. Ao citar resultados nas dimensões, ele afirma resultados devidos a Eudoxo, Fídias (seu pai) e Aristarco. Existem outras fontes que mencionam o trabalho de Arquimedes “sobre as distâncias aos corpos celestes. Por exemplo, em Osborne reconstrói e discute: –

… uma teoria das distâncias dos corpos celestes atribuída a Arquimedes, mas o estado corrompido dos numerais no único manuscrito sobrevivente significa que o material é difícil de manusear.

No Método, Arquimedes descreveu a maneira pela qual ele descobriu muitos dos seus resultados geométricos (ver): –

… certas coisas ficaram claras para mim por um método mecânico, embora tivessem que ser provadas pela geometria depois porque sua investigação pelo referido método não forneceu uma prova real. Mas é claro que é mais fácil, quando adquirimos previamente, pelo método, algum conhecimento das questões, fornecer a prova do que encontrá-la sem qualquer conhecimento prévio.

Talvez o brilho de Arquimedes “resultados geométricos seja st resumido por Plutarco, que escreve: –

Não é possível encontrar em toda a geometria questões mais difíceis e intrincadas, ou explicações mais simples e lúcidas. Alguns atribuem isso ao seu gênio natural; enquanto outros pensam que o incrível esforço e labuta produziram esses, ao que tudo indica, resultados fáceis e sem esforço.Nenhuma investigação sua teria sucesso em obter a prova e, no entanto, uma vez vista, você imediatamente acredita que a teria descoberto; por um caminho tão suave e tão rápido, ele o leva à conclusão necessária.

Heath adiciona sua opinião sobre a qualidade do trabalho de Arquimedes: –

Os tratados são, sem exceção, monumentos de exposição matemática; a revelação gradual do plano de ataque, a ordenação magistral das proposições, a eliminação severa de tudo o que não é imediatamente relevante para o propósito, o fim do todo, são tão impressionante em sua perfeição que cria um sentimento semelhante ao espanto na mente do leitor.

Há referências a outras obras de Arquimedes que agora se perderam. Pappus se refere a uma obra por Arquimedes sobre poliedros semirregulares, o próprio Arquimedes refere-se a um trabalho sobre o sistema numérico que ele propôs no Sandreckoner, Pappus menciona um tratado Sobre equilíbrios e alavancas e Theon menciona um tratado de Arquimedes sobre espelhos. Evidências para outras obras perdidas são discutido em, mas a evidência não é total muito convincente.
Arquimedes foi morto em 212 aC durante a captura de Siracusa pelos romanos na Segunda Guerra Púnica, depois que todos os seus esforços para manter os romanos afastados com suas máquinas de guerra falharam. Plutarco conta três versões da história de seu assassinato que chegou até ele. A primeira versão: –

Arquimedes … estava …, como queria o destino, com a intenção de resolver algum problema por meio de um diagrama, e ter consertado sua mente e sua olhos sobre o assunto de suas especulações, ele nunca percebeu a incursão dos romanos, nem que a cidade foi tomada. Neste transporte de estudo e contemplação, um soldado, aproximando-se inesperadamente dele, mandou-o seguir até Marcelo; que ele se recusou a fazer antes de resolver seu problema em uma demonstração, o soldado, enfurecido, puxou sua espada e o atravessou.

A segunda versão: –

… um soldado romano, correndo sobre ele com uma espada desembainhada, ofereceu-se para matá-lo; e que Arquimedes, olhando para trás, implorou fervorosamente que segurasse sua mão um pouco, para que ele não deixasse o que estava então trabalhando de forma inconclusiva e imperfeita; mas o soldado, nada movido por sua súplica, matou-o instantaneamente.

Finalmente, a terceira versão que Plutarco ouviu: –

. .. enquanto Arquimedes estava levando para Marcelo instrumentos matemáticos, mostradores, esferas e ângulos, pelos quais a magnitude do sol poderia ser medida à vista, alguns soldados, vendo-o e pensando que ele carregava ouro em uma embarcação, o mataram.

Arquimedes considerou que suas realizações mais significativas foram aquelas relativas a um cilindro circunscrevendo uma esfera, e ele pediu uma representação disso junto com seu resultado na proporção dos dois, para ser inscrito em seu túmulo. Cícero estava na Sicília em 75 aC e escreveu como procurou pela tumba de Arquimedes (ver por exemplo): –

… e a encontrou cercada por toda parte e coberta de espinheiros e matagais ; pois eu me lembrava de certas linhas escritas, como eu tinha ouvido, em sua tumba, que afirmavam que uma esfera junto com um cilindro tinha sido colocada em cima de sua sepultura. Assim, depois de dar uma boa olhada em volta …, notei uma pequena coluna surgindo um pouco acima dos arbustos, na qual havia a figura de uma esfera e um cilindro …. Os escravos foram enviados com foices … e quando uma passagem para o local foi aberta, nos aproximamos do pedestal à nossa frente; o epigrama era rastreável com cerca de metade das linhas legíveis, já que a última parte estava desgastada.

Talvez seja surpreendente que as obras matemáticas de Arquimedes fossem relativamente pouco conhecidas imediatamente após sua morte . Como escreve Clagett em: –

Ao contrário dos Elementos de Euclides, as obras de Arquimedes não eram amplamente conhecidas na Antiguidade. … É verdade que … obras individuais de Arquimedes foram obviamente estudadas em Alexandria, uma vez que Arquimedes foi frequentemente citado por três eminentes matemáticos de Alexandria: Heron, Pappus e Theon.

Somente depois que Eutocius trouxe edições de algumas das obras de Arquimedes, com comentários, no século VI DC os tratados notáveis se tornaram mais amplamente conhecidos. Finalmente, vale a pena observar que o teste usado hoje para determinar quão próximas do texto original estão as várias versões de seus tratados de Arquimedes é determinar se elas mantiveram o dialeto dórico de Arquimedes.