Biografi

Archimedes far var Phidias, en astronom. Vi vet ingenting annet om Phidias enn dette faktum, og vi vet bare dette siden Archimedes gir oss denne informasjonen i et av verkene hans, The Sandreckoner. En venn av Archimedes som heter Heracleides skrev en biografi om ham, men dessverre er dette arbeidet tapt. Hvordan vår kunnskap om Archimedes ville bli forvandlet hvis dette tapte arbeidet noen gang ble funnet, eller til og med utdrag funnet i skriftene til andre.
Archimedes var innfødt i Syracuse, Sicilia. Det er rapportert av noen forfattere at han besøkte Egypt og der oppfant en enhet som nå er kjent som Archimedes «skrue. Dette er en pumpe, som fortsatt brukes i mange deler av verden. Det er høyst sannsynlig at Archimedes studerte sammen med etterfølgerne av Euclid i Alexandria, da han var ung. Sikkert var han helt kjent med matematikken som ble utviklet der, men det som gjør denne antagelsen mye mer sikker, han kjente personlig matematikerne som jobbet der, og han sendte resultatene til Alexandria med personlige meldinger. Han betraktet Conon av Samos, en av matematikerne i Alexandria, begge veldig høyt for hans evner som matematiker, og han betraktet ham også som en nær venn.
Forordet til On spirals forteller Archimedes en morsom historie om vennene hans i Alexandria. Han forteller oss at han hadde for vane å sende dem uttalelser om sine siste setninger, men uten å gi bevis. Tilsynelatende hadde noen av matematikerne der hevdet resultatene som sine egne, så Archimedes sier at ved siste anledning da han sendte dem teoremer, inkluderte han to som var falske: –

… så at de som hevder å oppdage alt, men ikke har noen bevis på det samme, kan forveksles med å ha utgitt seg for å oppdage det umulige.

Annet enn i forordene til verkene hans, informasjon om Archimedes kommer til oss fra en rekke kilder, for eksempel i historier fra Plutarch, Livy og andre. Plutarch forteller oss at Archimedes var i slekt med kong Hieron II av Syracuse (se for eksempel): –

Archimedes … skriftlig til kong Hiero, hvis venn og nærmeste forhold han var. …

Atter bevis på minst hans vennskap med familien til kong Hieron II kommer fra det faktum at Sandreckoner var viet til Gelon, sønn av kong Hieron.
Det er faktisk ganske mange referanser til Archimedes i tidens skrifter, for han hadde fått et rykte i sin egen tid som få andre matematikere i denne perioden oppnådde. Årsaken til dette var ikke en stor interesse for nye matematiske ideer, men heller at Archimedes hadde oppfunnet mange maskiner som ble brukt som krigsmotorer. Disse var spesielt effektive i forsvaret av Syracuse da det ble angrepet av romerne under kommando av Marcellus.

Plutarch skriver i sitt arbeid om Marcellus, den romerske kommandanten, om hvordan Archimedes «krigsmotorer ble brukt mot romerne i beleiringen av 212 f.Kr.: –

… da Archimedes begynte å plyse motorene sine, skjøt han straks mot landstyrkene alle slags rakettvåpen og enorme masser av stein som kom ned med utrolig støy og vold som ingen mennesker kunne stå imot, for de slo ned dem som de falt i hauger på, og brøt alle rekker og filer. I mellomtiden kastet store stolper ut av veggene over skipene og senket noen ved store vekter som de la ned fra seg over dem; andre løftet de opp i luften med en jernhånd eller nebb som en kranebb, og når de hadde trukket dem opp ved buen og satte dem på baugen, de kastet dem til havets bunn; ellers ble skipene, trukket av motorer inne og virvlet rundt, styrtet mot bratte steiner som stod og stakk ut under veggene, med stor ødeleggelse av soldatene som var ombord på dem. Et skip ble ofte løftet opp til en stor høyde i luften (en fryktelig ting å se), og ble rullet frem og tilbake og svingte seg helt til sjøfolkene ble kastet ut, når det til slutt ble knust mot klippene, eller la falle.

Archimedes hadde blitt overtalt av sin venn og forhold til kong Hieron til å bygge slike maskiner: –

Disse maskinene hadde designet og konstruert, ikke som saker av noen betydning, men som bare fornøyelser i geometri; i samsvar med kong Hieros ønske og forespørsel, litt tid før, om at han skulle redusere for å praktisere en del av sin beundringsverdige spekulasjon i vitenskap, og ved å imøtekomme den teoretiske sannheten til sensasjon og vanlig bruk, bringe den mer innenfor forståelsen av folket generelt.

Kanskje det er trist at krigsmotorer ble verdsatt av folket på denne tiden på en måte som teoretisk matematikk ikke var, men man må merke seg at verden ikke er veldig et annet sted på slutten av det andre årtusen e.Kr. Andre oppfinnelser av Archimedes, som sammensatt remskive, ga ham også stor berømmelse blant hans samtid. Igjen siterer vi Plutarch: –

hadde uttalt at gitt kraften, vil enhver gitt vekt kunne flyttes, og til og med skryte, blir vi fortalt, avhengig av demonstrasjonens styrke, at hvis det var en annen jord, ved å gå inn i den kunne han fjerne dette. Hiero ble overrasket over dette og bønnfalt ham om å utbedre dette problemet ved faktiske eksperimenter, og vise stor vekt beveget av en liten motor, og deretter festet han seg på et lasteskip ut av kongens arsenal, som ikke kunne bli trukket ut av kaien uten mye arbeidskraft og mange menn, og laster henne med mange passasjerer og full frakt, sitter selv mens han er langt borte, uten noen stor innsats, men bare holder hodet på trinsen i hånden og tegner ledningene gradvis, tegnet han skipet i en rett linje, like jevnt og jevnt som om hun hadde vært i sjøen.

Likevel Archimedes, selv om han oppnådde berømmelse ved sine mekaniske oppfinnelser , trodde at ren matematikk var den eneste verdige forfølgelsen. Igjen beskriver Plutarch vakkert Archimedes holdning, men likevel skal vi se senere at Archimedes faktisk brukte noen veldig praktiske metoder for å oppdage resultater fra ren geometri: –

Archimedes hadde så høy a ånd, så dyp sjel, og slike skatter av vitenskapelig kunnskap, at selv om disse oppfinnelsene nå hadde skaffet ham anerkjennelse av mer enn menneskelig skurrethet, ville han likevel ikke fortømme å legge igjen noen kommentar eller skriving om slike emner; men ved å forkaste som sordid og tilsidesette hele ingeniørbransjen, og alle slags kunst som egner seg til ren bruk og fortjeneste, plasserte han hele sin hengivenhet og ambisjon i de renere spekulasjoner der det ikke kan være noen referanse til livets vulgære behov ; studier hvor overlegenhet overfor alle andre er ubestridte, og der den eneste tvil kan være om skjønnheten og storheten til de undersøkte fagpersonene, om presisjonen og samvittigheten av metodene og bevisene, mest fortjener vår beundring. id = «9e04897abd»> Hans fascinasjon med geometri er vakkert beskrevet av Plutarch: –

Oftimes Archimedes ‘tjenere fikk ham mot sin vilje til badene, for å vaske og salve han, og likevel være der, ville han noen gang tegne ut av de geometriske figurene, til og med i skorsteins glør. Og mens de salvet ham med oljer og søte savors, trakk han med fingrene linjer på sin nakne kropp. , så langt ble han tatt fra seg selv og brakt i ekstase eller transe, med gleden han hadde i studiet av geometri.

Arkimedes ‘prestasjoner er ganske enestående. Han blir ansett av de fleste historikere av matematikk som en av tidenes største matematikere . Han perfeksjonerte en integrasjonsmetode som tillot ham å finne områder, volumer og overflater på mange kropper. Chasles sa at Archimedes «arbeidet med integrering (se): –

… fødte kalkulatoren til det uendelige som ble oppfattet og fullkommen av Kepler, Cavalieri, Fermat, Leibniz og Newton.

Archimedes var i stand til å bruke metoden for utmattelse, som er den tidlige formen for integrering, for å oppnå en rekke viktige resultater, og vi nevner noen av disse i beskrivelsene av hans arbeider nedenfor. Archimedes ga også en nøyaktig tilnærming til π og viste at han kunne tilnærme kvadratrøtter nøyaktig. Han oppfant et system for å uttrykke et stort antall. I mekanikk oppdaget Archimedes grunnleggende teoremer angående tyngdepunktet for plane figurer og faste stoffer. kjent setning gir vekten av et legeme nedsenket i en væske, kalt Archimedes-prinsippet.
Arkimedes som har overlevd, er som følger. På plane likevekt (to bøker), kvadratur av parabolen, På sfæren og sylinderen (to bøker), På spiraler, På konoider og sfæroider, På flytende kropper (to bøker), Måling av en sirkel og Sandreckoner. Sommeren 1906 oppdaget JL Heiberg, professor i klassisk filologi ved Københavns universitet, et manuskript fra det 10. århundre som inkluderte Archimedes ‘arbeid Metoden. Dette gir en bemerkelsesverdig innsikt i hvordan Archimedes oppdaget mange av hans resultater, og vi vil diskutere dette nedenfor når vi har gitt ytterligere detaljer om hva som er i de overlevende bøkene.
Rekkefølgen som Archimedes skrev verkene i, er ikke kjent med sikkerhet.Vi har brukt den kronologiske rekkefølgen som Heath har foreslått i å liste opp disse verkene ovenfor, bortsett fra Metoden som Heath har plassert rett før på kule og sylinder. Papiret ser på argumenter for en annen kronologisk rekkefølge av Archimedes «verk.
Avhandlingen On plane equilibriums skisserer de grunnleggende prinsippene for mekanikk ved hjelp av metodene for geometri. Archimedes oppdaget grunnleggende teoremer angående tyngdepunktet for plane figurer Disse er gitt i dette arbeidet. Spesielt finner han i bok 1 tyngdepunktet til et parallellogram, en trekant og et trapes. Bok to er helt viet til å finne tyngdepunktet til et segment av en parabel. kvadraturen til parabolen Archimedes finner området til et segment av en parabel som er avskåret av et hvilket som helst akkord.
I den første boken Om kule og sylinder viser Archimedes at overflaten til en kule er fire ganger større enn en stor sirkel , finner han arealet til et hvilket som helst segment av en kule, han viser at volumet til en kule er to tredjedeler av volumet til en omskrevet sylinder, og at overflaten til en kule er to tredjedeler av overflaten til en omskrevet sylinder inkl. hyllende basene. En god diskusjon om hvordan Archimedes kan ha blitt ført til at noen av disse resultatene ved hjelp av uendelige størrelser er gitt i. I den andre boken av dette arbeidet er Archimedes «viktigste resultat å vise hvordan man kutter en gitt sfære med et plan slik at forholdet mellom volumene til de to segmentene har et foreskrevet forhold.
In On spirals definerer Archimedes en spiral , gir han grunnleggende egenskaper som forbinder radiusvektorens lengde med vinklene den har dreid seg gjennom. Han gir resultater på tangenser til spiralen, samt å finne arealet av delene av spiralen. I arbeidet med konoider og sfæroider undersøker Archimedes paraboloider av revolusjon, hyperboloider av revolusjon og sfæroider oppnådd ved å rotere en ellips enten om sin hovedakse eller om dens mindre akse. Hovedformålet med arbeidet er å undersøke volumet av segmenter av disse tredimensjonale figurene. Noen hevder at det er mangel på strenghet i visse av resultatene av dette arbeidet, men den interessante diskusjonen tilskriver dette en moderne rekonstruksjon.
På flytende kropper er et verk der Archimedes legger ned ba sic prinsipper for hydrostatikk. Hans mest kjente setning som gir vekten av et legeme nedsenket i en væske, kalt Archimedes «-prinsippet, er inkludert i dette arbeidet. Han studerte også stabiliteten til forskjellige flytende legemer med forskjellige former og forskjellige spesifikke gravitasjoner. I Måling av Circle Archimedes viser at den eksakte verdien av π ligger mellom verdiene 310713 \ large \ frac {10} {71} \ normalsize37110 og 3173 \ large \ frac {1} {7} \ normalsize371. Dette oppnådde han ved å omskrive og skrive en sirkel med vanlige polygoner med 96 sider.
Sandreckoner er et bemerkelsesverdig verk der Archimedes foreslår et tallsystem som er i stand til å uttrykke tall opp til 8 × 10638 \ ganger 10 ^ {63} 8 × 1063 i moderne notasjon. Han argumenterer i dette arbeid at dette tallet er stort nok til å telle antall sandkorn som kan monteres i universet. Det er også viktige historiske bemerkninger i dette arbeidet, for Archimedes må gi universets dimensjoner for å kunne telle tallet av sandkorn whi ch det kan inneholde. Han uttaler at Aristarchus har foreslått et system med solen i sentrum og planetene, inkludert jorden, som dreier seg rundt det. Ved å sitere resultater om dimensjonene oppgir han resultater på grunn av Eudoxus, Phidias (hans far) og Aristarchus. Det er andre kilder som nevner Archimedes «arbeider med avstander til himmellegemene. For eksempel i Osborne rekonstruerer og diskuterer: –

… en teori om avstanden til himmellegemene tilskrevet til Archimedes, men den korrupte tilstanden til tallene i det eneste overlevende manuskriptet betyr at materialet er vanskelig å håndtere.

I metoden beskrev Archimedes måten han oppdaget mange av hans geometriske resultater (se): –

… visse ting ble først tydelige for meg ved en mekanisk metode, selv om de måtte bevises med geometri etterpå fordi deres undersøkelse av nevnte metoden ga ikke et faktisk bevis. Men det er selvfølgelig lettere, når vi tidligere har skaffet oss kunnskap om spørsmålene, å levere bevisene enn det er å finne det uten forutgående kunnskap. «9e04897abd»> Kanskje glansen til Archimedes ‘geometriske resultater er st oppsummert av Plutarch, som skriver: –

Det er ikke mulig å finne vanskeligere og mer kompliserte spørsmål i all geometri, eller mer enkle og klare forklaringer. Noen tilskriver dette sitt naturlige geni; mens andre tror at utrolig innsats og slit produserte disse, til alle utseendet, enkle og ugunstige resultater.Ingen etterforskning av deg ville lykkes med å oppnå beviset, og likevel, så snart du har sett det, tror du umiddelbart at du ville ha oppdaget det; på en så jevn og så rask vei han fører deg til den nødvendige konklusjonen.

Heath legger til sin mening om kvaliteten på Archimedes ‘arbeid: –

Avhandlingene er uten unntak monumenter for matematisk redegjørelse; den gradvise åpenbaringen av angrepsplanen, den mesterlige ordenen av proposisjonene, den fjerne eliminasjonen av alt som ikke umiddelbart er relevant for formålet, fullføringen av helheten, er så imponerende i sin perfeksjon at de skaper en følelse som ligner på ærefrykt i leserens sinn.

Det er referanser til andre verk av Archimedes som nå er tapt. Pappus refererer til et verk av Archimedes om semi-regelmessig polyhedra, refererer Archimedes selv til et arbeid på tallsystemet som han foreslo i Sandreckoner, Pappus nevner en avhandling om saldoer og spaker, og Theon nevner en avhandling av Archimedes om speil. Bevis for ytterligere tapte verk er diskutert i, men bevisene er ikke totale var overbevisende.
Archimedes ble drept i 212 f.Kr. under romerskens erobring av Syracuse i den andre puniske krigen etter at alle hans anstrengelser for å holde romerne i sjakk med krigsmaskinene hadde mislyktes. Plutarch forteller tre versjoner av historien om drapet som hadde kommet ned til ham. Den første versjonen: –

Archimedes … var … som skjebnen ville ha det, med hensikt å utarbeide et problem ved hjelp av et diagram og å ha løst tankene hans og hans med tanke på emnet for hans spekulasjoner, la han aldri merke til inntoget til romerne, og heller ikke at byen ble inntatt. I denne studietransporten og kontemplasjonen befalte en soldat ham uventet å be ham om å følge Marcellus; som han nektet å gjøre før han hadde utarbeidet sitt problem til en demonstrasjon, trakk soldaten rasende, sverdet og løp ham igjennom.

Den andre versjonen: –

… en romersk soldat, som løp på ham med et trukket sverd, tilbød seg å drepe ham; og at Archimedes, når han så seg tilbake, oppriktig ba ham om å holde hånden en liten stund, for ikke å la det han da var på jobb være ufullstendig og ufullkommen; men soldaten, ingenting som ble rørt av hans bønn, drepte ham øyeblikkelig.

Endelig den tredje versjonen som Plutarch hadde hørt: –

. … da Archimedes bar matematiske instrumenter, urskiver, kuler og vinkler til Marcellus, hvor solens størrelse kunne måles til synet, noen soldater så ham og tenkte at han bar gull i et kar, drepte ham.

Archimedes anså at hans viktigste prestasjoner var de som gjaldt en sylinder som omskrev en sfære, og han ba om en representasjon av dette sammen med sitt resultat på forholdet mellom de to, som skulle skrives inn på graven hans. Cicero var på Sicilia i 75 f.Kr., og han skriver hvordan han søkte etter Archimedes-graven (se for eksempel): –

… og fant den lukket rundt og dekket med brambles og kratt ; for jeg husket visse doggerel-linjer som jeg hadde hørt på graven hans, der det sto at en kule sammen med en sylinder hadde blitt satt på toppen av graven hans. Følgelig, etter å ha sett godt rundt … la jeg merke til en liten søyle som dukket opp litt over buskene, der det var en figur av en kule og en sylinder …. Slaver ble sendt inn med sigd … og da en gang til stedet ble åpnet, nærmet vi oss sokkelen foran oss; epigramet var sporbart med omtrent halvparten av linjene lesbare, da sistnevnte del ble slitt.

Det er kanskje overraskende at de matematiske verkene til Archimedes var relativt lite kjent umiddelbart etter hans død. . Som Clagett skriver i: –

I motsetning til elementene i Euklid, var verken til Archimedes ikke kjent i antikken. … Det er sant at … enkelte verk av Archimedes åpenbart ble studert i Alexandria, siden Archimedes ofte ble sitert av tre fremtredende matematikere i Alexandria: Heron, Pappus og Theon.

Først etter at Eutocius brakte ut utgaver av noen av Archimedes-verkene, med kommentarer, i det sjette århundre e.Kr., ble de bemerkelsesverdige avhandlingene mer kjent. Til slutt er det verdt å bemerke at testen som brukes i dag for å avgjøre hvor nær originalteksten de forskjellige versjonene av hans avhandlinger om Archimedes er, er å avgjøre om de har beholdt Archimedes ”doriske dialekt.