Delar av en Parabel

Grafen för en kvadratisk funktion är en parabel och dess delar ger värdefull information om funktionen.

Minns att en kvadratisk funktion har formen

\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c.

där a, b och c är konstanter och en \ neq 0.

graf för en kvadratisk funktion är en U-formad kurva som kallas en parabel. Denna form visas nedan.

Parabolas egenskaper

Parabolor har flera igenkännliga funktioner som kännetecknar deras form och placering på det kartesiska planet.

Vertex

En viktig egenskap hos parabolen är att den har en extrem punkt, kallad toppunkt. Om parabolen öppnas representerar toppunkten den lägsta punkten i diagrammet, eller minimivärdet för den kvadratiska funktionen. Om parabolen öppnar sig representerar toppunkten den högsta punkten i diagrammet, eller det maximala värdet. I båda fallen är toppunkten en vändpunkt på diagrammet.

Symmetriaxel

Parabolor har också en symmetriaxel, som är parallell med y-axeln. Symmetriaxeln är en vertikal linje som dras genom toppunkten.

y-avlyssning

y-avlyssningen är den punkt där parabolen korsar y-axeln. Det kan inte finnas mer än en sådan punkt för grafen för en kvadratisk funktion. Om det fanns skulle kurvan inte vara en funktion, eftersom det skulle finnas två y-värden för ett x-värde, vid noll.

x-avlyssningar

Kom ihåg att om den kvadratiska funktionen är lika med noll, så är resultatet en kvadratisk ekvation. Lösningarna på ekvationen kallas funktionens rötter. Dessa är samma rötter som kan observeras som parabollens x-avlyssningar.

En grafisk tolkning av kvadratiska lösningar

Rötterna till en kvadratisk funktion kan hittas algebraiskt eller grafiskt.

Minns hur kvadratiska rötter funktioner kan hittas algebraiskt med kvadratisk formel (x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}). Rötterna till en kvadratisk funktion kan också hittas grafiskt genom att göra observationer om dess graf. Det här är två olika metoder som kan användas för att nå samma värden, och vi kommer nu att se hur de är relaterade.

Tänk på den kvadratiska funktionen som visas nedan. Låt oss lösa sina rötter både grafiskt och algebraiskt.

Nu ska vi lösa för rötterna till f (x) = x ^ 2 – x- 2 algebraiskt med kvadratformeln.

Kom ihåg att den kvadratiska ekvationen sätter det kvadratiska uttrycket lika med noll istället för f (x):

0 = x ^ 2 – x – 2

Ersättare dessa värden i den kvadratiska formeln:

x = \ dfrac {- (- 1) \ pm \ sqrt {(-1) ^ 2-4 (1) (- 2)}} {2 (1 )}

Förenklat har vi:

x = \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\

och

x = \ dfrac {1 \ pm 3} {2}

Vi har nu två möjliga värden för x: \ frac {1 + 3} {2} och \ frac {1- 3} {2}.

Exempel

Hitta rötterna till den kvadratiska funktionen f (x) = x ^ 2 – 4x + 4. Lös grafiskt och algebraiskt.

När vi tittar på grafen för funktionen märker vi att den inte skär x-axeln. Därför har den inga riktiga rötter.

Om vi ersätter dessa i kvadratformeln har vi:

x = \ dfrac {- (- 4) \ pm \ sqrt {(-4 ) ^ 2-4 (1) (5)}} {2 (1)}

Förenkling, vi har:

x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 -20}} {2} \\ x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {-4}} {2}

Observera att vi har \ sqrt {-4} i formeln, som är inte ett riktigt tal. Därför finns det inga verkliga rötter för den givna kvadratiska funktionen. Vi har kommit fram till samma slutsats som vi kom fram grafiskt.

Grafering av kvadratiska ekvationer i vertikalform

Toppunktformen för en kvadratisk funktion låter dess toppunkt lätt hittas.

Kvadratiska ekvationer kan ta olika former. Du har redan sett standardformuläret:

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + c

En annan vanlig form kallas vertexform, för när en kvadratisk är skriven i denna form, det är väldigt lätt att avgöra var dess toppunkt ligger. Vertexformen ges av:

f (x) = a (xh) ^ 2 + k

Konvertering från vertexform till standardform

Om du vill konvertera en kvadratisk i vertexform till en i standardform, multiplicera helt enkelt kvadraten och kombinera lika termer. Till exempel kan kvadraten

y = (x-2) ^ 2 + 1

skrivas om på följande sätt:

\ begin {align} y & = (x-2) (x-2) +1 \\ & = x ^ 2-2x-2x + 4 + 1 \\ & = x ^ 2-4x + 5 \ end {align}

Konvertera från standardform till vertexform

Det är svårare att konvertera från standardform till toppunktform. Processen kallas ”att komplettera kvadraten.”

Konvertering När a = 1

Vi både lägger till och subtraherar detta nummer enligt följande:

y = ( x ^ 2 + 4x + 4) + 6-4

Omvandling När en \ neq 1

Det är något mer komplicerat att konvertera standardform till vertexform när koefficienten a inte är lika med 1. Vi kan fortfarande använda tekniken, men måste vara noga med att först faktorera a som i följande exempel:

Tänk på y = 2x ^ 2 + 12x + 5. Vi faktorerar ut koefficienten 2 från de två första termerna, skriv detta som:

y = 2 (x ^ 2 + 6x) + 5

y = 2 (x ^ 2 + 6x + 9-9 ) +5

Vi kan sedan avsluta beräkningen enligt följande:

\ begin {align} y & = 2 ((x + 3) ^ 2-9) +5 \\ & = 2 (x + 3) ^ 2-18 + 5 \\ & = (x + 3) ^ 2-13 \ end {align}

Så toppunkten för denna parabel är (-3, -13).

Rita kvadratiska ekvationer i standardform

En kvadratisk funktion är en polynomfunktion av formen y = ax ^ 2 + bx + c.

En kvadratisk funktion i formen

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + x

är i standardform.

Oavsett format är grafen för en kvadratisk funktion en parabel.

Koefficienter och diagram för kvadratisk funktion

Varje koefficient i en kvadratisk funktion i standardform har en inverkan på formen och placeringen av funktionens graf.

Koefficient för x ^ 2, a

Koefficienten a styr hastigheten för ökning (eller minskning) av den kvadratiska funktionen från toppunkten. En större, positiv a gör att funktionen ökar snabbare och grafen verkar tunnare.

Symmetriaxeln

x = – \ dfrac {b} {2a}

x = – \ frac {-4} {2 \ cdot 2} = 1

Toppunktet har också x-koordinat 1.

Y-skärningspunkten för parabeln