Dele af en Parabel

Grafen for en kvadratisk funktion er en parabel, og dens dele giver værdifuld information om funktionen.

Husk at en kvadratisk funktion har formen

\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c.

hvor a, b og c er konstanter, og a \ neq 0.

graf for en kvadratisk funktion er en U-formet kurve kaldet en parabel. Denne form er vist nedenfor.

Parabolas funktioner

Parabolas har flere genkendelige funktioner, der karakteriserer deres form og placering på det kartesiske plan.

Vertex

Et vigtigt træk ved parabolen er, at den har et ekstremt punkt, kaldet toppunktet. Hvis parabolen åbner sig, repræsenterer toppunktet det laveste punkt på grafen eller minimumsværdien af den kvadratiske funktion. Hvis parabolen åbner sig, repræsenterer toppunktet det højeste punkt på grafen eller den maksimale værdi. I begge tilfælde er toppunktet et vendepunkt på grafen.

Symmetriakse

Paraboler har også en symmetriakse, som er parallel med y-aksen. Symmetriaksen er en lodret linje trukket gennem toppunktet.

y-skæring

Y-skæringspunktet er det punkt, hvor parabolen krydser y-aksen. Der kan ikke være mere end et sådant punkt til grafen for en kvadratisk funktion. Hvis der var, ville kurven ikke være en funktion, da der ville være to y-værdier for en x-værdi ved nul.

x-aflytninger

Husk at hvis den kvadratiske funktion er sat til nul, er resultatet en kvadratisk ligning. Løsningerne til ligningen kaldes funktionens rødder. Disse er de samme rødder, der kan observeres som parabelens x-aflytninger.

En grafisk fortolkning af kvadratiske løsninger

Rødderne til en kvadratisk funktion kan findes algebraisk eller grafisk.

Husk, hvordan kvadratiske rødder funktioner kan findes algebraisk ved hjælp af den kvadratiske formel (x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}). Rødderne til en kvadratisk funktion kan også findes grafisk ved at foretage observationer om dens graf. Dette er to forskellige metoder, der kan bruges til at nå de samme værdier, og vi vil nu se, hvordan de er relaterede.

Overvej den kvadratiske funktion, der er tegnet nedenfor. Lad os løse sine rødder både grafisk og algebraisk.

Lad os nu løse rødderne til f (x) = x ^ 2 – x- 2 algebraisk med den kvadratiske formel.

Husk, at den kvadratiske ligning indstiller det kvadratiske udtryk lig med nul i stedet for f (x):

0 = x ^ 2 – x – 2

erstatning disse værdier i den kvadratiske formel:

x = \ dfrac {- (- 1) \ pm \ sqrt {(-1) ^ 2-4 (1) (- 2)}} {2 (1 )}

Forenkling, vi har:

x = \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\

og

x = \ dfrac {1 \ pm 3} {2}

Vi har nu to mulige værdier for x: \ frac {1 + 3} {2} og \ frac {1- 3} {2}.

Eksempel

Find rødderne til den kvadratiske funktion f (x) = x ^ 2 – 4x + 4. Løs grafisk og algebraisk.

Når vi ser på grafen for funktionen, bemærker vi, at den ikke skærer x-aksen. Derfor har den ingen rigtige rødder.

Ved at erstatte disse i den kvadratiske formel har vi:

x = \ dfrac {- (- 4) \ pm \ sqrt {(-4 ) ^ 2-4 (1) (5)}} {2 (1)}

Forenkling, vi har:

x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 -20}} {2} \\ x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {-4}} {2}

Bemærk, at vi har \ sqrt {-4} i formlen, som er ikke et rigtigt tal. Derfor er der ingen reelle rødder for den givne kvadratiske funktion. Vi er nået til den samme konklusion, som vi nåede grafisk.

Tegning af kvadratiske ligninger i hvirvelform

Hovedformen for en kvadratisk funktion lader dens toppunkt let findes.

Kvadratiske ligninger kan tage forskellige former. Du har allerede set standardformularen:

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + c

En anden almindelig form kaldes toppunktform, fordi når en kvadratisk er skrevet i denne form, det er meget let at fortælle, hvor dens toppunkt er placeret. Højdepunktsformen er givet ved:

f (x) = a (xh) ^ 2 + k

Konvertering fra Vertex-form til standardform

Hvis du ønsker at konvertere en kvadratisk i vertexform til en i standardform, skal du blot multiplicere firkanten og kombinere lignende termer. Den kvadratiske

y = (x-2) ^ 2 + 1

kan f.eks. Omskrives som følger:

\ begin {align} y & = (x-2) (x-2) +1 \\ & = x ^ 2-2x-2x + 4 + 1 \\ & = x ^ 2-4x + 5 \ end {align}

Konvertering fra standardform til vertexform

Det er sværere at konvertere fra standardform til toppunktform. Processen kaldes “færdiggørelse af firkanten.”

Konvertering Når a = 1

Derefter tilføjer og trækker vi dette nummer som følger:

y = ( x ^ 2 + 4x + 4) + 6-4

Konvertering Når en \ neq 1

Det er lidt mere kompliceret at konvertere standardform til vertexform, når koefficienten a ikke er lig med 1. Vi kan stadig bruge teknikken, men vi skal være omhyggelige med først at udregne a som i følgende eksempel:

Overvej y = 2x ^ 2 + 12x + 5. Vi udregner koefficienten 2 fra de to første termer, skriv dette som:

y = 2 (x ^ 2 + 6x) + 5

y = 2 (x ^ 2 + 6x + 9-9 ) +5

Vi kan derefter afslutte beregningen som følger:

\ begin {align} y & = 2 ((x + 3) ^ 2-9) +5 \\ & = 2 (x + 3) ^ 2-18 + 5 \\ & = (x + 3) ^ 2-13 \ end {align}

Så toppunktet for denne parabel er (-3, -13).

Tegning af kvadratiske ligninger i standardform

En kvadratisk funktion er en polynomfunktion med formen y = ax ^ 2 + bx + c.

En kvadratisk funktion i form

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + x

er i standardform.

Uanset formatet er grafen for en kvadratisk funktion en parabel.

Koefficienter og grafer for kvadratisk funktion

Hver koefficient i en kvadratisk funktion i standardform har indflydelse på formen og placeringen af funktionens graf.

Koefficient på x ^ 2, a

Koefficienten a styrer hastigheden på stigning (eller formindskelse) af den kvadratiske funktion fra toppunktet. En større, positiv a gør, at funktionen øges hurtigere, og grafen ser tyndere ud.

Symmetriaksen

x = – \ dfrac {b} {2a}

x = – \ frac {-4} {2 \ cdot 2} = 1

Spidsen har også x-koordinat 1.

Parabelens y-skæringspunkt