Osat Parabola

Neliöllisen funktion kaavio on paraboli, ja sen osat tarjoavat arvokasta tietoa funktiosta.

Muista, että neliöllinen funktio on muodoltaan

\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c.

missä a, b ja c ovat vakioita ja a \ neq 0.

neliöfunktion kaavio on U-muotoinen käyrä, jota kutsutaan parabolaksi. Tämä muoto on esitetty alla.

Parabolojen ominaisuudet

Parabolilla on useita tunnistettavia ominaisuuksia, jotka luonnehtivat niiden muotoa ja sijoittumista suorakulmaiseen tasoon.

Kärki

Parabolin tärkeä piirre on, että sillä on äärimmäinen piste, jota kutsutaan kärjeksi. Jos parabolia avautuu, kärki edustaa kaavion alinta pistettä tai neliöfunktion pienintä arvoa. Jos paraboli avautuu alas, kärki edustaa kaavion korkeinta pistettä tai enimmäisarvoa. Kummassakin tapauksessa kärki on kaavion käännekohta.

Symmetria-akseli

Parabolilla on myös symmetria-akseli, joka on yhdensuuntainen y-akselin kanssa. Symmetria-akseli on pystysuora viiva, joka on vedetty kärkipisteen läpi.

y-leikkaus

Y-leikkauspiste on kohta, jossa paraboli ylittää y-akselin. Sellaista pistettä ei voi olla enemmän kuin yksi toisen asteen funktion kuvaajalle. Jos olisi, käyrä ei olisi funktio, koska yhdellä x-arvolla olisi kaksi y-arvoa nollalla.

x-sieppaukset

Muista, että jos neliöfunktio asetetaan nollaksi, tulos on asteikon yhtälö. Yhtälön ratkaisuja kutsutaan funktion juuriksi. Nämä ovat samat juuret, jotka ovat havaittavissa kuin parabolin x-sieppaukset.

Neliöllisten ratkaisujen graafinen tulkinta

Neliöfunktion juuret löytyvät algebrallisesti tai graafisesti.

Palautetaan mieleen, kuinka neliöllisen juuret funktiot löytyvät algebrallisesti käyttämällä kvadraattikaavaa (x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}). Neliöfunktion juuret löytyvät myös graafisesti tekemällä havaintoja sen käyrästä. Nämä ovat kaksi erilaista menetelmää, joita voidaan käyttää samojen arvojen saavuttamiseen, ja näemme nyt, kuinka ne liittyvät toisiinsa.

Harkitse alla esitettyä neliöfunktiota. Ratkaistaan sen juuret sekä graafisesti että algebrallisesti.

Ratkaistaan nyt f (x) = x ^ 2 – x- 2: n juuret algebrallisesti neliöllisen kaavan avulla.

Muista, että neliöyhtälö asettaa neliöisen lausekkeen nollaksi f (x) sijaan:

0 = x ^ 2 – x – 2

Korvaava nämä luvut asteikolla:

x = \ dfrac {- (- 1) \ pm \ sqrt {(-1) ^ 2-4 (1) (- 2)}} {2 (1 )}

Yksinkertaistaminen:

x = \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\

ja

x = \ dfrac {1 \ pm 3} {2}

Meillä on nyt kaksi mahdollista arvoa x: lle: \ frac {1 + 3} {2} ja \ frac {1- 3} {2}.

Esimerkki

Etsi neliöfunktion juuret f (x) = x ^ 2 – 4x + 4. Ratkaise graafisesti ja algebrallisesti.

Tarkasteltaessa funktion kuvaajaa huomaamme, että se ei leikkaa x-akselia. Siksi sillä ei ole todellisia juuria.

Korvaamalla nämä toisen asteen kaavaan meillä on:

x = \ dfrac {- (- 4) \ pm \ sqrt {(-4 ) ^ 2-4 (1) (5)}} {2 (1)}

Yksinkertaistaminen:

x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 -20}} {2} \\ x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {-4}} {2}

Huomaa, että kaavassa on \ sqrt {-4}, joka on ei oikea luku. Siksi annetulle neliöfunktiolle ei ole todellisia juuria. Olemme päässeet samaan johtopäätökseen, johon päädyimme graafisesti.

Neliöyhtälöiden piirtäminen vertex-muodossa

Neliöfunktion kärkimuoto antaa sen kärkipaikan löytää helposti.

Asteelliset yhtälöt voivat olla erilaisia. Olet jo nähnyt vakiolomakkeen:

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + c

Toista yleistä muotoa kutsutaan huippulomakkeeksi, koska kun neliöllinen on kirjoitettu tässä muodossa, on erittäin helppo sanoa, missä sen kärki sijaitsee. Kärkilomakkeen antaa:

f (x) = a (xh) ^ 2 + k

Muunnos huippupisteestä vakiolomakkeeksi

Jos haluat muuntaa neliön kärjessä olevaksi neliömoodiksi vakiomuodoksi, yksinkertaisesti kerro neliö ja yhdistä samankaltaiset termit. Esimerkiksi neliöllinen

y = (x-2) ^ 2 + 1

Voidaan kirjoittaa uudestaan seuraavasti:

\ begin {align} y & = (x-2) (x-2) +1 \\ & = x ^ 2-2x-2x + 4 + 1 \\ & = x ^ 2-4x + 5 \ end {align}

Muunnos vakiolomakkeesta huippupohjaiseksi lomakkeeksi

Se on vaikeampaa muuntaa vakiolomakkeesta kärkipaikaksi. Prosessia kutsutaan ”neliön täydentämiseksi”.

Muunnos, kun a = 1

Sitten lisätään ja vähennetään tämä luku seuraavasti:

y = ( x ^ 2 + 4x + 4) + 6-4

Muunnos, kun a \ neq 1

Vakiomuodon muuntaminen pisteeksi on hieman monimutkaisempi, kun kerrointa a ei ole yhtä suuri kuin 1. Voimme silti käyttää tekniikkaa, mutta meidän on oltava varovainen laskettaessa ensin a pois kuten seuraavassa esimerkissä:

Harkitse y = 2x ^ 2 + 12x + 5. Kerroin kerroin 2 kahdesta ensimmäisestä termistä kirjoittamalla tämän seuraavasti:

y = 2 (x ^ 2 + 6x) + 5

y = 2 (x ^ 2 + 6x + 9-9 ) +5

Voimme sitten lopettaa laskutoimituksen seuraavasti:

\ begin {align} y & = 2 ((x + 3) ^ 2-9) +5 \\ & = 2 (x + 3) ^ 2-18 + 5 \\ & = (x + 3) ^ 2-13 \ end {tasaus}

Joten tämän parabolan kärkipiste on (-3, -13).

Neliöllisten yhtälöiden piirtäminen vakiomuodossa

Neliöfunktio on muodon y = ax ^ 2 + bx + c polynomifunktio.

Neliöllinen funktio muodossa

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + x

on vakiomuodossa.

Muodosta riippumatta toisen asteen funktion kaavio on paraboli.

Nopeusfunktion kertoimet ja kuvaajat

Jokaisella neliöfunktion vakiomuodossa olevalla kertoimella on vaikutusta funktion kuvaajan muotoon ja sijoitteluun.

Kerroin x ^ 2, a

Kerroin a ohjaa neliöfunktion kasvun (tai laskun) nopeutta kärjestä. Suurempi, positiivinen a saa funktion kasvamaan nopeammin ja kaavio näyttää ohuemmalta.

Symmetrian akseli

x = – \ dfrac {b} {2a}

x = – \ frac {-4} {2 \ cdot 2} = 1

Kärkipisteessä on myös x-koordinaatti 1.

Parabolan y-leikkaus