Partes de um Parábola

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola e suas partes fornecem informações valiosas sobre a função.

Lembre-se de que uma função quadrática tem a forma

\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c.

onde a, b e c são constantes, e a \ neq 0.

O O gráfico de uma função quadrática é uma curva em forma de U chamada parábola. Esta forma é mostrada abaixo.

Características das parábolas

As parábolas têm várias características reconhecíveis que caracterizam sua forma e posicionamento no plano cartesiano.

Vértice

Uma característica importante da parábola é que ela tem um ponto extremo, chamado vértice. Se a parábola se abrir, o vértice representa o ponto mais baixo do gráfico ou o valor mínimo da função quadrática. Se a parábola se abre para baixo, o vértice representa o ponto mais alto no gráfico ou o valor máximo. Em ambos os casos, o vértice é um ponto de viragem no gráfico.

Eixo de simetria

As parábolas também têm um eixo de simetria, que é paralelo ao eixo y. O eixo de simetria é uma linha vertical desenhada através do vértice.

interceptação y

A interceptação y é o ponto em que a parábola cruza o eixo y. Não pode haver mais de um desses pontos, para o gráfico de uma função quadrática. Se houvesse, a curva não seria uma função, pois haveria dois valores y para um valor x, em zero.

interceptações x

Lembre-se de que se a função quadrática for definida igual a zero, o resultado é uma equação quadrática. As soluções para a equação são chamadas de raízes da função. Essas são as mesmas raízes observáveis como os interceptos x da parábola.

Uma interpretação gráfica de soluções quadráticas

As raízes de uma função quadrática podem ser encontradas algebricamente ou graficamente.

Lembre-se de como as raízes de quadrático funções podem ser encontradas algebricamente, usando a fórmula quadrática (x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}). As raízes de uma função quadrática também podem ser encontradas graficamente fazendo observações sobre seu gráfico. Esses são dois métodos diferentes que podem ser usados para chegar aos mesmos valores, e agora veremos como eles estão relacionados.

Considere a função quadrática que está representada no gráfico abaixo. Vamos resolver suas raízes gráfica e algebricamente.

Agora, vamos resolver as raízes de f (x) = x ^ 2 – x- 2 algebricamente com a fórmula quadrática.

Lembre-se de que a equação quadrática define a expressão quadrática igual a zero em vez de f (x):

0 = x ^ 2 – x – 2

Substituir estes valores na fórmula quadrática:

x = \ dfrac {- (- 1) \ pm \ sqrt {(-1) ^ 2-4 (1) (- 2)}} {2 (1 )}

Simplificando, temos:

x = \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\

e

x = \ dfrac {1 \ pm 3} {2}

Agora temos dois valores possíveis para x: \ frac {1 + 3} {2} e \ frac {1- 3} {2}.

Exemplo

Encontre as raízes da função quadrática f (x) = x ^ 2 – 4x + 4. Resolva gráfica e algebricamente.

Olhando para o gráfico da função, notamos que ela não intercepta o eixo x. Portanto, ele não tem raízes reais.

Substituindo-os na fórmula quadrática, temos:

x = \ dfrac {- (- 4) \ pm \ sqrt {(-4 ) ^ 2-4 (1) (5)}} {2 (1)}

Simplificando, temos:

x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 -20}} {2} \\ x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {-4}} {2}

Observe que temos \ sqrt {-4} na fórmula, que é não é um número real. Portanto, não há raízes reais para a função quadrática fornecida. Chegamos à mesma conclusão que alcançamos graficamente.

Representando graficamente equações quadráticas na forma de vértice

A forma de vértice de uma função quadrática permite que seu vértice seja encontrado facilmente.

Equações quadráticas pode assumir várias formas. Você já viu a forma padrão:

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + c

Outra forma comum é chamada forma de vértice, porque quando um quadrático é escrito desta forma, é muito fácil dizer onde seu vértice está localizado. A forma do vértice é dada por:

f (x) = a (xh) ^ 2 + k

Conversão da forma do vértice para a forma padrão

Se você deseja converter um quadrático na forma de vértice em um na forma padrão, basta multiplicar o quadrado e combinar os termos semelhantes. Por exemplo, o quadrático

y = (x-2) ^ 2 + 1

Pode ser reescrito da seguinte forma:

\ begin {align} y & = (x-2) (x-2) +1 \\ & = x ^ 2-2x-2x + 4 + 1 \\ & = x ^ 2-4x + 5 \ end {align}

Converter da forma padrão para a forma de vértice

É mais difícil de converter da forma padrão para a forma de vértice. O processo é chamado de “completar o quadrado”.

Conversão quando a = 1

Nós então adicionamos e subtraímos este número da seguinte maneira:

y = ( x ^ 2 + 4x + 4) + 6-4

Conversão Quando a \ neq 1

É um pouco mais complicado converter a forma padrão para a forma de vértice quando o coeficiente a não é igual a 1. Ainda podemos usar a técnica, mas devemos ter o cuidado de primeiro fatorar o a como no exemplo a seguir:

Considere y = 2x ^ 2 + 12x + 5. Faturamos o coeficiente 2 dos dois primeiros termos, escrevendo como:

y = 2 (x ^ 2 + 6x) + 5

y = 2 (x ^ 2 + 6x + 9-9 ) +5

Podemos então terminar o cálculo da seguinte maneira:

\ begin {align} y & = 2 ((x + 3) ^ 2-9) +5 \\ & = 2 (x + 3) ^ 2-18 + 5 \\ & = (x + 3) ^ 2-13 \ end {align}

Portanto, o vértice desta parábola é (-3, -13).

Representação gráfica de equações quadráticas na forma padrão

Uma função quadrática é uma função polinomial da forma y = ax ^ 2 + bx + c.

Uma função quadrática na forma

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + x

está na forma padrão.

Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

Coeficientes e gráficos da função quadrática

Cada coeficiente em uma função quadrática na forma padrão tem um impacto na forma e no posicionamento do gráfico da função.

Coeficiente de x ^ 2, a

O coeficiente a controla a velocidade de aumento (ou diminuição) da função quadrática do vértice. Um a maior e positivo faz com que a função aumente mais rapidamente e o gráfico pareça mais fino.

O eixo de simetria

x = – \ dfrac {b} {2a}

x = – \ frac {-4} {2 \ cdot 2} = 1

O vértice também tem coordenada x 1.

A interceptação y da Parábola