Partes de un Parábola
La gráfica de una función cuadrática es una parábola y sus partes proporcionan información valiosa sobre la función.
Objetivos de aprendizaje
Describe las partes y características de las parábolas
Conclusiones clave
Puntos clave
- La gráfica de una función cuadrática tiene forma de U curva llamada parábola.
- El signo en el coeficiente a de la función cuadrática afecta si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo. Si un < 0, el gráfico hace un ceño fruncido (se abre hacia abajo) y si un > 0, el gráfico hace una sonrisa (se abre ).
- El punto extremo (máximo o mínimo) de una parábola se llama vértice, y el eje de simetría es una línea vertical que pasa por el vértice.
- La x- las intersecciones son los puntos en los que la parábola cruza el eje x. Si existen, las intersecciones con x representan los ceros, o raíces, de la función cuadrática.
Términos clave
- vértice: el punto en el que un la parábola cambia de dirección, correspondiente al valor mínimo o máximo de la función cuadrática.
- eje de simetría: Una línea vertical trazada a través del vértice de una parábola alrededor de la cual la parábola es simétrica.
- ceros: En una función dada, los valores de x en los que y = 0, también llamados raíces.
Recuerde que una función cuadrática tiene la forma
\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c.
donde a, byc son constantes y a \ neq 0.
El La gráfica de una función cuadrática es una curva en forma de U llamada parábola. Esta forma se muestra a continuación.
Parábola: La gráfica de una función cuadrática es una parábola.
Dirección de las parábolas: el signo del coeficiente a determina la dirección de la parábola .
Características de las parábolas
Las parábolas tienen varias características reconocibles que caracterizan su forma y ubicación en el plano cartesiano.
Vértice
Una característica importante de la parábola es que tiene un punto extremo, llamado vértice. Si la parábola se abre, el vértice representa el punto más bajo en la gráfica o el valor mínimo de la función cuadrática. Si la parábola se abre hacia abajo, el vértice representa el punto más alto del gráfico o el valor máximo. En cualquier caso, el vértice es un punto de inflexión en el gráfico.
Eje de simetría
Las parábolas también tienen un eje de simetría, que es paralelo al eje y. El eje de simetría es una línea vertical trazada a través del vértice.
intersección con el eje y
La intersección con el eje y es el punto en el que la parábola cruza el eje y. No puede haber más de uno de esos puntos para la gráfica de una función cuadrática. Si lo hubiera, la curva no sería una función, ya que habría dos valores de y para un valor de x, en cero.
X-intersecciones
Posibles intersecciones x: una parábola no puede tener intersecciones x, una intersección x o dos intersecciones x
Recuerde que si la función cuadrática se establece igual a cero, entonces el resultado es una ecuación cuadrática. Las soluciones de la ecuación se llaman raíces de la función. Estas son las mismas raíces que son observables como las intersecciones con el eje x de la parábola.
Una interpretación gráfica de soluciones cuadráticas
Las raíces de una función cuadrática se pueden encontrar algebraicamente o gráficamente.
Objetivos de aprendizaje
Describir las soluciones de una ecuación cuadrática como los puntos donde la parábola cruza el eje x
Conclusiones clave
Puntos clave
- Las raíces de una función cuadrática se pueden encontrar algebraicamente con la fórmula cuadrática y gráficamente haciendo observaciones sobre su parábola.
- Las soluciones, o raíces, de una ecuación cuadrática dada son las mismas que los ceros, o intersecciones con el eje x, de la gráfica de la función cuadrática correspondiente.
Términos clave
- ceros: En una función dada, los valores de x en los que y = 0, también llamados raíces.
Recuerde cómo las raíces de cuadráticas las funciones se pueden encontrar algebraicamente, usando la fórmula cuadrática (x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}). Las raíces de una función cuadrática también se pueden encontrar gráficamente haciendo observaciones sobre su gráfica. Estos son dos métodos diferentes que se pueden usar para alcanzar los mismos valores, y ahora veremos cómo se relacionan.
Considere la función cuadrática que se grafica a continuación. Resolvamos sus raíces tanto gráfica como algebraicamente.
Ahora, resuelva las raíces de f (x) = x ^ 2 – x- 2 algebraicamente con la fórmula cuadrática.
Recuerde que la ecuación cuadrática iguala la expresión cuadrática a cero en lugar de f (x):
0 = x ^ 2 – x – 2
Sustituir estos valores en la fórmula cuadrática:
x = \ dfrac {- (- 1) \ pm \ sqrt {(-1) ^ 2-4 (1) (- 2)}} {2 (1 )}
Simplificando, tenemos:
x = \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\
y
x = \ dfrac {1 \ pm 3} {2}
Ahora tenemos dos valores posibles para x: \ frac {1 + 3} {2} y \ frac {1- 3} {2}.
Ejemplo
Encuentre las raíces de la función cuadrática f (x) = x ^ 2 – 4x + 4. Resuelva de forma gráfica y algebraica.
La gráfica de f (x) = x ^ 2 – 4x + 4 .: La gráfica de la función anterior , con el vértice etiquetado en (2, 1).
Mirando la gráfica de la función, notamos que no se cruza con el eje x. Por lo tanto, no tiene raíces reales.
Sustituyendo estas en la fórmula cuadrática, tenemos:
x = \ dfrac {- (- 4) \ pm \ sqrt {(-4 ) ^ 2-4 (1) (5)}} {2 (1)}
Simplificando, tenemos:
x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 -20}} {2} \\ x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {-4}} {2}
Observe que tenemos \ sqrt {-4} en la fórmula, que es no es un número real. Por lo tanto, no hay raíces reales para la función cuadrática dada. Hemos llegado a la misma conclusión a la que llegamos gráficamente.
Graficar ecuaciones cuadráticas en forma de vértice
La forma de vértice de una función cuadrática permite encontrar su vértice fácilmente.
Conclusiones clave
Puntos clave
- Una forma importante de una función cuadrática es la forma de vértice: f (x) = a (xh) ^ 2 + k
- Cuando se escribe en forma de vértice, es fácil ver el vértice de la parábola en (h, k).
- Es fácil convertir de la forma de vértice a la forma estándar.
- Es más difícil, pero aún posible, convertir de forma estándar a forma de vértice. El proceso implica una técnica llamada completar el cuadrado.
Términos clave
- constante: un identificador que está vinculado a un valor invariante.
- vértice: un punto en la curva con una curvatura mínima o máxima local.
- cuadrática: un polinomio de grado dos.
ecuaciones cuadráticas puede tomar varias formas. Ya ha visto la forma estándar:
f (x) = a {x} ^ {2} + bx + c
Otra forma común se llama forma de vértice, porque cuando un cuadrático está escrito de esta forma, es muy fácil saber dónde se encuentra su vértice. La forma de vértice viene dada por:
f (x) = a (xh) ^ 2 + k
Conversión de forma de vértice a forma estándar
Si desea convertir una cuadrática en forma de vértice a una en forma estándar, simplemente multiplique el cuadrado y combine términos semejantes. Por ejemplo, la cuadrática
y = (x-2) ^ 2 + 1
Se puede reescribir de la siguiente manera:
\ begin {align} y & = (x-2) (x-2) +1 \\ & = x ^ 2-2x-2x + 4 + 1 \\ & = x ^ 2-4x + 5 \ end {align}
Conversión de forma estándar a forma de vértice
Es más difícil de convertir de forma estándar a forma de vértice. El proceso se llama «completar el cuadrado».
Conversión cuando a = 1
Luego sumamos y restamos este número de la siguiente manera:
y = ( x ^ 2 + 4x + 4) + 6-4
Conversión cuando a \ neq 1
Es un poco más complicado convertir la forma estándar a la forma de vértice cuando el coeficiente a no es igual a 1. Todavía podemos usar la técnica, pero debemos tener cuidado de factorizar primero la a como en el siguiente ejemplo:
Considere y = 2x ^ 2 + 12x + 5. Factorizamos el coeficiente 2 de los dos primeros términos, escribiendo esto como:
y = 2 (x ^ 2 + 6x) + 5
y = 2 (x ^ 2 + 6x + 9-9 ) +5
Luego podemos finalizar el cálculo de la siguiente manera:
\ begin {align} y & = 2 ((x + 3) ^ 2-9) +5 \\ & = 2 (x + 3) ^ 2-18 + 5 \\ & = (x + 3) ^ 2-13 \ end {align}
Entonces, el vértice de esta parábola es (-3, -13).
Graficar ecuaciones cuadráticas en forma estándar
Una función cuadrática es una función polinomial de la forma y = ax ^ 2 + bx + c.
Key Take siempre
Puntos clave
- La gráfica de una función cuadrática es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje y.
- Los coeficientes a, byc en la ecuación y = ax ^ 2 + bx + c controlan varias facetas de cómo se ve la parábola cuando se grafica.
Términos clave
- vértice: el máximo o mínimo de una función cuadrática.
- parábola: la forma formada por la gráfica de una función cuadrática.
- cuadrática: un polinomio de grado dos.
Una función cuadrática en la forma
f (x) = a {x} ^ {2} + bx + x
está en forma estándar.
Independientemente del formato, la gráfica de una función cuadrática es una parábola.
La gráfica de y = x ^ 2-4x + 3: La gráfica de cualquier ecuación cuadrática es siempre una parábola.
Coeficientes y gráficos de función cuadrática
Cada coeficiente en una función cuadrática en forma estándar tiene un impacto en la forma y ubicación del gráfico de la función.
Coeficiente de x ^ 2, a
El coeficiente a controla la velocidad de aumento (o disminución) de la función cuadrática desde el vértice. Una a positiva más grande hace que la función aumente más rápido y el gráfico parezca más delgado.
El eje de simetría
x = – \ dfrac {b} {2a}
x = – \ frac {-4} {2 \ cdot 2} = 1
El vértice también tiene la coordenada x 1.
La gráfica de y = 2x ^ 2-4x + 4 .: El eje de simetría es una línea vertical paralela al eje y en x = 1.
