Poligon

Un poligon este o formă plană (bidimensională) cu laturile drepte. Exemplele includ triunghiuri, patrulatere, pentagone, hexagoane și așa mai departe.

Regular

A „Poligon regulat „are: toate laturile egale și toate unghiurile egale. În caz contrar, este neregulat.

Pentagon normal Pentagon neregulat

Aici ne uităm doar la poligoane obișnuite.

Proprietăți

Deci, ce putem ști despre poligoane regulate? În primul rând, putem stabili unghiuri.

Unghiul exterior Unghiul exterior este unghiul dintre orice latură a unei forme, și o linie extinsă din partea următoare.

Toate unghiurile exterioare ale unui poligon se ridică la 360 °, deci:

Fiecare unghi exterior trebuie să fie 360 ° / n

(unde n este numărul de laturi)

Apăsați butonul de redare pentru a vedea.

Unghiuri interioare The Interior Ang le și Unghiul exterior sunt măsurate de la aceeași linie, deci se adaugă până la 180 °.

Unghiul interior = 180 ° – Unghi exterior

Știm unghiul exterior = 360 ° / n, deci:

Unghiul interior = 180 ° – 360 ° / n

Și acum pentru câteva nume:

„Circumcircle, Incircle, Radius and Apothem …”

Sună destul de muzical dacă îl repetați de câteva ori, dar sunt doar numele „exteriorului” și „interiorului” „cercuri (și fiecare rază) care pot fi desenate pe un poligon ca acesta:

Cercul „exterior” se numește circumcerc și leagă toate vârfurile (punctele de colț) ale poligonului.

Raza circumcercului este, de asemenea, raza poligonului.

Cercul „interior” se numește un cerc și atinge fiecare parte a poligonului în punctul său mediu.

Raza cercului este apotema poligonului.

(Nu toate poligoanele au acele proprietăți, dar triunghiurile și poligoanele obișnuite au.)

Spargerea în T triunghiuri

Putem învăța multe despre poligoanele obișnuite împărțindu-le în triunghiuri precum aceasta:

Observați că:

• „baza” triunghiului este o parte a poligonului.
• „înălțimea” triunghiului este „Apotema” poligonului

Acum, aria unui triunghi este jumătate din baza înălțimii, deci:

Suprafața unui triunghi = bază × înălțime / 2 = latură × apotemă / 2

Pentru a obține aria întregului poligon, trebuie doar să adunați suprafețele tuturor micilor triunghiuri („n” dintre ele):

Aria poligonului = n × latură × apotemă / 2

Și întrucât perimetrul este toate laturile = n × latură, obținem:

Aria poligonului = perimetru × apotemă / 2

Un triunghi mai mic

Prin tăierea triunghiului în jumătate obținem acest lucru:

( Notă: Unghiurile sunt în radiani, nu în grade)

Triunghiul mic este dreptunghiular și astfel putem folosi sinus, cosinus și tangent la fi cum se leagă latura, raza, apotema și n (numărul de laturi):

Există mult mai multe relații ca acelea (majoritatea sunt doar „rearanjări”), dar acestea vor face pentru acum.

Mai multe formule de suprafață

Putem folosi asta pentru a calcula aria atunci când cunoaștem numai Apotema:

Și există 2 astfel de triunghiuri pe fiecare parte, sau 2n pentru întregul poligon:

Suprafața poligonului = n × Apothem2 × tan (π / n)

Când nu cunoaștem Apothem, putem folosi aceeași formulă dar refăcut pentru Radius sau pentru Side:

Suprafața poligonului = ½ × n × Radius2 × sin (2 × π / n)

Suprafața poligonului = ¼ × n × Side2 / tan (π / n)

Un tabel de valori

Și aici este un tabel de latură, apotemă și zonă comparativ cu o rază de „1”, folosind formulele pe care le au funcționat: