Obiective de învățare
Până la sfârșitul acestei secțiuni, veți putea:
- Utilizați ambele versiuni principiului incertitudinii lui Heisenberg în calcule.
- Explicați implicațiile principiului incertitudinii lui Heisenberg pentru măsurători.
Distribuția probabilităților
Materie și fotonii sunt unde, ceea ce înseamnă că sunt răspândiți pe o anumită distanță. Care este poziția unei particule, cum ar fi un electron? Este în centrul valului? Răspunsul constă în modul în care măsurați poziția unui electron. Experimentele arată că veți găsi electronul într-o anumită locație, spre deosebire de o undă. Dar dacă setați exact aceeași situație și o măsurați din nou, veți găsi electronul într-o locație diferită, de multe ori departe de orice incertitudine experimentală în măsurarea dvs. Măsurătorile repetate vor afișa o distribuție statistică a locațiilor care apare ca de undă. (A se vedea Figura 1.)
Figura 1. Construirea modelului de difracție a electronilor împrăștiați de pe o suprafață cristalină. Fiecare electron ajunge într-o locație definită, care nu poate fi prezisă cu precizie. Distribuția generală prezentată în partea de jos poate fi prezisă ca difracție a undelor care au lungimea de undă a electronii de Broglie.
După ce de Broglie a propus natura undelor materiei, mulți fizicieni, inclusiv Schrödinger și Heisenberg, au explorat consecințele. A apărut rapid ideea că, datorită caracterului său de undă, traiectoria și destinația unei particule nu pot fi prezise cu precizie pentru fiecare particulă individual. Cu toate acestea, fiecare particulă merge într-un loc definit (așa cum este ilustrat în Figura 1). După compilarea datelor suficiente, veți obține o distribuție legată de lungimea de undă a particulei și modelul de difracție. Există o anumită probabilitate de a găsi particula într-o anumită locație, iar modelul general se numește distribuție de probabilitate. Cei care au dezvoltat mecanica cuantică au conceput ecuații care au prezis distribuția probabilității în diferite circumstanțe.
Este oarecum neliniștitor să crezi că nu poți prezice exact unde va merge o particulă individuală, sau chiar să o urmezi până la destinație. Să explorăm ce se întâmplă dacă încercăm să urmărim o particulă. Luați în considerare modelele cu dublă fantă obținute pentru electroni și fotoni din Figura 2. Mai întâi, observăm că aceste modele sunt identice, urmând d sin θ = mλ, ecuația pentru interferența constructivă cu dublă fantă dezvoltată în Energii fotonice și Spectrul electromagnetic, unde d este separarea fantei și λ este lungimea de undă a electronului sau fotonului.
Figura 2. Dublu- interferența fantei pentru electroni (a) și fotoni (b) este identică pentru lungimi de undă egale și separări egale de fante. Ambele modele sunt distribuții de probabilitate în sensul că sunt acumulate de particule individuale care traversează aparatul, ale căror căi nu sunt previzibile individual.
Ambele modele se acumulează statistic pe măsură ce particulele individuale cad pe detectorul. Acest lucru poate fi observat pentru fotoni sau electroni – deocamdată, să ne concentrăm pe electroni. S-ar putea să vă imaginați că electronii interferează unul cu celălalt, așa cum o fac orice unde. Pentru a testa acest lucru, puteți reduce intensitatea până când nu există niciodată mai mult de un electron între fante și ecran. Se acumulează același tip de interferență! Aceasta implică faptul că distribuția probabilității unei particule se întinde pe ambele fante, iar particulele interferează de fapt cu ele însele. Asta înseamnă, de asemenea, că electronul trece prin ambele fante? Un electron este o unitate de bază a materiei care nu este divizibilă. Dar este o întrebare corectă și, prin urmare, ar trebui să analizăm dacă electronul traversează o fantă sau alta sau ambele. O posibilitate este de a avea bobine în jurul fantelor care detectează sarcinile care se mișcă prin ele. Ceea ce se observă este că un electron trece întotdeauna printr-o fantă sau alta; nu se desparte pentru a trece prin ambele. Dar există o captură. Dacă stabiliți că electronul a trecut printr-una dintre fante, nu mai primiți un model dublu de fante – în schimb, primiți o interferență cu o singură fanta. Nu există nicio scăpare prin utilizarea unei alte metode de determinare prin care fanta a trecut electronul. Știind că particula a trecut printr-o fantă forțează un model cu o singură fantă. Dacă nu observați prin ce fantă trece electronul, obțineți un model cu dublă fantă.
Incertitudinea Heisenberg
Cum schimbă știința prin care fantă a trecut electronul? Răspunsul este fundamental important – măsurarea afectează sistemul observat. Informațiile pot fi pierdute și, în unele cazuri, este imposibil să se măsoare simultan două mărimi fizice cu precizie exactă. De exemplu, puteți măsura poziția unui electron în mișcare prin împrăștierea luminii sau a altor electroni din acesta.Aceste sonde au ele însele impuls și, prin împrăștiere din electron, își schimbă impulsul într-un mod care pierde informații. Există o limită a cunoașterii absolute, chiar și în principiu.
Figura 3. Werner Heisenberg a fost unul dintre cei mai buni dintre acei fizicieni care au dezvoltat mecanica cuantică timpurie. Nu numai că lucrarea sa a permis o descriere a naturii la scară foarte mică, ci și a schimbat viziunea noastră asupra disponibilității cunoștințelor. Deși este recunoscut universal pentru strălucirea și importanța muncii sale (a primit premiul Nobel în 1932, de exemplu), Heisenberg a rămas în Germania în timpul celui de-al doilea război mondial și a condus efortul german de a construi o bombă nucleară, înstrăinându-se permanent de majoritatea comunității științifice. (credit: Autor necunoscut, prin Wikimedia Commons)
Werner Heisenberg a declarat prima dată această limită a cunoașterii în 1929 ca urmare a muncii sale despre mecanica cuantică și caracteristicile de undă ale tuturor particulelor . (Vezi Figura 3). Mai exact, luați în considerare măsurarea simultană a poziției și impulsului unui electron (ar putea fi orice particulă). Există o incertitudine în poziția Δx care este aproximativ egală cu lungimea de undă a particulei. Adică, Δx ≈ λ.
După cum sa discutat mai sus, o undă nu este localizată la un punct din spațiu. Dacă poziția electronului este măsurată în mod repetat, va fi observată o răspândire în locații, ceea ce implică o incertitudine în poziția Δx. Pentru a detecta poziția particulei, trebuie să interacționăm cu ea, cum ar fi să o ciocnim cu un detector. În ciocnire, particula va pierde impulsul. Această modificare a impulsului ar putea fi de oriunde de la aproape zero la impulsul total al particulei, p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Nu este posibil să se spună cât de mult impuls va fi transferat la un detector și, deci, există și o incertitudine în impuls Δp. De fapt, incertitudinea de impuls poate fi la fel de mare ca impulsul în sine, ceea ce în formă de ecuație înseamnă că \ Delta {p} \ approx \ frac {h} {\ lambda} \\.
Incertitudinea în poziție poate fi redus utilizând un electron cu lungime de undă mai mică, deoarece Δx ≈ λ. Dar scurtarea lungimii de undă crește incertitudinea în impuls, deoarece p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Dimpotrivă, incertitudinea de impuls poate fi redusă utilizând un electron cu lungime de undă mai mare, dar aceasta crește incertitudinea în poziție. Din punct de vedere matematic, puteți exprima acest compromis multiplicând incertitudinile. Lungimea de undă se anulează, lăsând ΔxΔp ≈ h.
Deci, dacă o incertitudine este redusă, cealaltă trebuie să crească astfel încât produsul lor să fie ≈h.
Acest lucru este cunoscut sub numele de principiul incertitudinii Heisenberg. . Este imposibil să se măsoare poziția x și impulsul p simultan cu incertitudinile Δx și Δp care se înmulțesc pentru a fi mai mici decât \ frac {h} {4 \ pi} \\. Nici incertitudinea nu poate fi zero. Nici o incertitudine nu poate deveni mică, fără ca cealaltă să devină mare. O lungime de undă mică permite măsurarea precisă a poziției, dar crește impulsul sondei până la distrugerea în continuare a impulsului unui sistem care este măsurat. De exemplu, dacă un electron este împrăștiat dintr-un atom și are o lungime de undă suficient de mică pentru a detecta poziția electronilor în atom, impulsul său poate bate electronii din orbita lor într-un mod care pierde informații despre mișcarea lor originală. Prin urmare, este imposibil să urmăriți un electron pe orbita sa în jurul unui atom. Dacă măsurați poziția electronului, îl veți găsi într-o locație definită, dar atomul va fi întrerupt. Măsurătorile repetate pe atomi identici vor produce distribuții de probabilitate interesante pentru electronii din jurul atomului, dar nu vor produce informații despre mișcare. Distribuțiile de probabilitate sunt denumite nori de electroni sau orbitali. Formele acestor orbitali sunt adesea arătate în textele de chimie generală și sunt discutate în Natura valurilor materiei cauzează cuantificarea.
De ce nu observăm principiul incertitudinii lui Heisenberg în viața de zi cu zi? Răspunsul este că constanta lui Planck este foarte mică. Astfel, limita inferioară a incertitudinii de măsurare a poziției și impulsului obiectelor mari este neglijabilă. Putem detecta lumina soarelui reflectată de Jupiter și urmărim planeta în orbita sa în jurul Soarelui. Lumina soarelui reflectată modifică impulsul lui Jupiter și creează o incertitudine în impulsul său, dar acest lucru este total neglijabil în comparație cu impulsul imens al lui Jupiter. Principiul corespondenței ne spune că predicțiile mecanicii cuantice devin indistincte de fizica clasică pentru obiectele mari, ceea ce este cazul aici.
Incertitudinea Heisenberg pentru energie și timp
Există o altă formă a principiului incertitudinii lui Heisenberg pentru măsurători simultane de energie și timp. În formă de ecuație, \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, unde ΔE este incertitudinea în energie și Δt este incertitudinea în timp.Aceasta înseamnă că într-un interval de timp Δt, nu este posibilă măsurarea precisă a energiei – va exista o incertitudine ΔE în măsurare. Pentru a măsura energia mai precis (pentru a micșora ΔE), trebuie să creștem Δt. Acest interval de timp poate fi cantitatea de timp pe care o luăm pentru a face măsurarea sau poate fi cantitatea de timp în care există o anumită stare, ca în următorul exemplu 2.
Principiul incertitudinii pentru energie și timp poate avea o mare semnificație dacă durata de viață a unui sistem este foarte scurtă. Atunci Δt este foarte mic și, prin urmare, consequE este foarte mare. Unele nuclee și particule exotice au o durată de viață extrem de scurtă (de până la 10-25 secunde), provocând incertitudini în ceea ce privește energia la fel de mult ca GeV (109 eV). Energia stocată apare ca o masă de repaus crescută și, prin urmare, aceasta înseamnă că există o incertitudine semnificativă în masa de repaus a particulelor de scurtă durată. Când se măsoară în mod repetat, se obține o răspândire a maselor sau a energiilor de descompunere. Răspândirea este ΔE. S-ar putea să vă întrebați dacă această incertitudine în energie ar putea fi evitată dacă nu măsurați durata de viață. Raspunsul este nu. Natura cunoaște durata de viață și, prin urmare, concizia sa afectează energia particulelor. Acest lucru este atât de bine stabilit experimental, încât incertitudinea în energia de descompunere este utilizată pentru a calcula durata de viață a stărilor de scurtă durată. Unele nuclee și particule au o viață atât de scurtă încât este dificil să le măsurăm durata de viață. Dar dacă energia lor de descompunere poate fi măsurată, răspândirea sa este ΔE, iar aceasta este utilizată în principiul incertitudinii \ left (\ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \ right) \\ pentru a calcula durata de viață Δt.
Există o altă consecință a principiului incertitudinii pentru energie și timp. Dacă energia este incertă de ΔE, atunci conservarea energiei poate fi încălcată de ΔE pentru un timp Δt. Nici fizicianul, nici natura nu pot spune că conservarea energiei a fost încălcată, dacă încălcarea este temporară și mai mică decât incertitudinea energetică. Deși acest lucru sună suficient de inofensiv, vom vedea în capitolele ulterioare că permite crearea temporară a materiei din nimic și are implicații asupra modului în care natura transmite forțe pe distanțe foarte mici.
În cele din urmă, rețineți că în discuția despre particule și unde, am afirmat că măsurătorile individuale produc rezultate precise sau asemănătoare particulelor. O poziție definită este determinată de fiecare dată când observăm un electron, de exemplu. Dar măsurătorile repetate produc o răspândire în valori în concordanță cu caracteristicile undei. Marele fizician teoretic Richard Feynman (1918–1988) a comentat: „Ceea ce există sunt particule”. Când îi observați suficient, se distribuie așa cum v-ați aștepta pentru un fenomen de undă. Totuși, ceea ce există în timp ce călătoresc nu putem spune că, atunci când încercăm să măsurăm, afectăm călătoria.
Rezumatul secțiunii
- Materia are aceleași caracteristici de interferență ca orice altă undă.
- Există acum o distribuție de probabilitate pentru localizarea unei particule, mai degrabă decât o anumită undă. poziție.
- O altă consecință a caracterului de undă al tuturor particulelor este principiul incertitudinii Heisenberg, care limitează precizia cu care anumite mărimi fizice pot fi cunoscute simultan. Pentru poziție și impuls, principiul incertitudinii este \ Delta { x} \ Delta {p} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, unde Δx este incertitudinea în poziție și Δp este incertitudinea în impuls.
- Pentru energie și timp, principiul incertitudinii este \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\ undeΔE este incertitudinea în energie șiΔt este incertitudinea în timp.
- Aceste mici limite sunt fundamental importante la scara cuantică-mecanică.
Întrebări conceptuale
- Care este principiul incertitudinii Heisenberg? Are limite la ceea ce poate fi cunoscut?
Probleme & Exerciții
- (a) Dacă poziția unui electron într-o membrană este măsurată la o precizie de 1,00 μm, care este incertitudinea minimă a vitezei electronului? (b) Dacă electronul are această viteză, care este energia sa cinetică în eV? (c) Care sunt implicațiile acestei energii, comparând-o cu energiile tipice de legare moleculară?
- (a) Dacă poziția unui ion de clor într-o membrană este măsurată la o precizie de 1,00 μm, ce este incertitudinea sa minimă în ceea ce privește viteza, având în vedere că masa sa este de 5,86 × 10−26 kg? (b) Dacă ionul are această viteză, care este energia sa cinetică în eV și cum se compară acest lucru cu energiile tipice de legare moleculară?
- Să presupunem că viteza unui electron într-un atom este cunoscută cu o acuratețe de 2,0 × 103 m / s (destul de precis comparativ cu viteza orbitală). Care este incertitudinea minimă a electronului în poziție și cum se compară acest lucru cu dimensiunea aproximativă de 0,1 nm a atomului? viteza luminii. (Acest lucru ar putea fi mic în comparație cu viteza sa.) Care este cea mai mică incertitudine posibilă în poziția sa?
- O stare excitată relativ lungă de viață a unui atom are o durată de viață de 3,00 ms. Care este incertitudinea minimă în energia sa?
- (a) Durata de viață a unui nucleu extrem de instabil este de 10−20 s Care este cea mai mică incertitudine în energia sa de descompunere? (b) Comparați acest lucru cu energia de repaus a unui electron.
- Energia de descompunere a unei particule de scurtă durată are o incertitudine de 1,0 MeV datorită duratei sale de viață scurte. Care este cea mai mică durată de viață pe care o poate avea?
- Energia de descompunere a unei stări excitate nucleare de scurtă durată are o incertitudine de 2,0 eV datorită duratei sale de viață scurte. Care este cea mai mică durată de viață pe care o poate avea?
- Care este incertitudinea aproximativă în masa unui muon, determinată din durata de viață a decăderii sale?
- Derivați forma aproximativă a principiului incertitudinii lui Heisenberg pentru energie și timp, ΔEΔt ≈ h, folosind următoarele argumente: Deoarece poziția unei particule este incertă de Δx ≈ λ, unde λ este lungimea de undă a fotonului folosit pentru a o examina, există o incertitudine în timpul pe care fotonul îl ia a traversa Δx. Mai mult, fotonul are o energie legată de lungimea sa de undă și poate transfera o parte sau o parte din această energie către obiectul examinat. Astfel, incertitudinea în energia obiectului este, de asemenea, legată de λ. Găsiți Δt și ΔE; apoi înmulțiți-le pentru a da principiul aproximativ de incertitudine.
Glosar
Principiul de incertitudine al lui Heisenberg: o limită fundamentală a preciziei cu care perechile de mărimi (impuls și poziția și energia și timpul) pot fi măsurate
incertitudinea energetică: lipsa de precizie sau lipsa cunoștințelor rezultatelor precise în măsurătorile energiei
incertitudinea în timp: lipsa de precizie sau lipsa cunoașterii rezultatelor precise în măsurători de timp
incertitudine în impuls: lipsă de precizie sau lipsă de cunoaștere a rezultatelor precise în măsurători de impuls
incertitudine în poziție: lipsă de precizie sau lipsa cunoașterii rezultatelor precise în măsurătorile poziției
distribuția probabilității: distribuția spațială globală a probabilităților de a găsi o particulă într-o locație dată
Soluții selectate la probleme & Exerciții
1. (a) 57,9 m / s; (b) 9,55 × 10-9 eV; (c) Din Tabelul 1 din Energii fotonice și Spectrul electromagnetic, vedem că energiile tipice de legare moleculară variază de la aproximativ 1eV la 10 eV, prin urmare rezultatul din partea (b) este cu aproximativ 9 ordine de mărime mai mic decât energiile tipice de legare moleculară.
3. 29 nm; De 290 de ori mai mare
5. 1,10 × 10−13 eV
7. 3,3 × 10−22 s
9. 2,66 × 10−46 kg
