Părți ale unui Parabola

Graficul unei funcții pătratice este o parabolă, iar părțile sale oferă informații valoroase despre funcție.

Reamintim că o funcție pătratică are forma

\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c.

unde a, b și c sunt constante și a \ neq 0.

graficul unei funcții pătratice este o curbă în formă de U numită parabolă. Această formă este prezentată mai jos.

Caracteristicile parabolelor

Parabolele au mai multe caracteristici recunoscute care caracterizează forma și amplasarea lor pe plan cartezian.

Vertex

O caracteristică importantă a parabolei este că are un punct extrem, numit vârf. Dacă parabola se deschide, vârful reprezintă cel mai mic punct de pe grafic sau valoarea minimă a funcției pătratice. Dacă parabola se deschide, vârful reprezintă cel mai înalt punct din grafic sau valoarea maximă. În ambele cazuri, vârful este un punct de cotitură pe grafic.

Axa simetriei

Parabolele au și o axă de simetrie, care este paralelă cu axa y. Axa de simetrie este o linie verticală trasată prin vârf.

interceptarea y

Intercepția y este punctul în care parabola traversează axa y. Nu poate exista mai mult de un astfel de punct, pentru graficul unei funcții pătratice. Dacă ar exista, curba nu ar fi o funcție, deoarece ar exista două valori y pentru o valoare x, la zero.

x-intercepts

Reamintim că, dacă funcția pătratică este setată egală cu zero, atunci rezultatul este o ecuație pătratică. Soluțiile la ecuație se numesc rădăcinile funcției. Acestea sunt aceleași rădăcini care sunt observabile ca interceptările x ale parabolei.

O interpretare grafică a soluțiilor quadratice

Rădăcinile unei funcții pătratice pot fi găsite algebric sau grafic.

Reamintim modul în care rădăcinile pătratului funcțiile pot fi găsite algebric, folosind formula pătratică (x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}). Rădăcinile unei funcții pătratice pot fi găsite și grafic făcând observații despre graficul acesteia. Acestea sunt două metode diferite care pot fi utilizate pentru a atinge aceleași valori și vom vedea acum cum sunt corelate.

Luați în considerare funcția pătratică care este reprezentată grafic mai jos. Să rezolvăm pentru rădăcinile sale atât grafic cât și algebric.

Acum, să rezolvăm rădăcinile lui f (x) = x ^ 2 – x- 2 algebric cu formula pătratică.

Reamintim că ecuația pătratică stabilește expresia pătratică egală cu zero în loc de f (x):

0 = x ^ 2 – x – 2

Înlocuiește aceste valori din formula pătratică:

x = \ dfrac {- (- 1) \ pm \ sqrt {(-1) ^ 2-4 (1) (- 2)}} {2 (1 )}

Simplificând, avem:

x = \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\

și

x = \ dfrac {1 \ pm 3} {2}

Acum avem două valori posibile pentru x: \ frac {1 + 3} {2} și \ frac {1- 3} {2}.

Exemplu

Găsiți rădăcinile funcției pătratice f (x) = x ^ 2 – 4x + 4. Rezolvați grafic și algebric.

Privind graficul funcției, observăm că nu intersectează axa x. Prin urmare, nu are rădăcini reale.

Înlocuind acestea în formula pătratică, avem:

x = \ dfrac {- (- 4) \ pm \ sqrt {(-4 ) ^ 2-4 (1) (5)}} {2 (1)}

Simplificând, avem:

x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 -20}} {2} \\ x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {-4}} {2}

Observați că avem \ sqrt {-4} în formulă, care este nu un număr real. Prin urmare, nu există rădăcini reale pentru funcția pătratică dată. Am ajuns la aceeași concluzie la care am ajuns grafic.

Graficarea ecuațiilor cuadratice în formă de vârf

Forma de vârf a unei funcții pătratice permite vertexul să fie găsit cu ușurință.

Ecuații cuadratice poate lua diferite forme. Ați văzut deja forma standard:

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + c

O altă formă obișnuită se numește formă de vârf, deoarece atunci când pătratic este scris în această formă, este foarte ușor de spus unde este situat vârful său. Forma de vârf este dată de:

f (x) = a (xh) ^ 2 + k

Conversia de la Vertex Form la Standard Standard

Dacă doriți să convertiți o pătratică în formă de vârf la una în formă standard, pur și simplu înmulțiți pătratul și combinați termeni asemănători. De exemplu, quadraticul

y = (x-2) ^ 2 + 1

Poate fi rescris după cum urmează:

\ begin {align} y & = (x-2) (x-2) +1 \\ & = x ^ 2-2x-2x + 4 + 1 \\ & = x ^ 2-4x + 5 \ end {align}

Conversia de la formularul standard la formularul de vârf

Este mai dificil de convertit de la forma standard la forma de vârf. Procesul se numește „completarea pătratului”.

Conversie Când a = 1

Apoi amândoi adăugăm și scădem acest număr după cum urmează:

y = ( x ^ 2 + 4x + 4) + 6-4

Conversie Când a \ neq 1

Este puțin mai complicat să transformați forma standard în formă de vârf când coeficientul a nu este egal cu 1. Putem folosi în continuare tehnica, dar trebuie să fim atenți să luăm în considerare mai întâi factorul a ca în exemplul următor:

Luați în considerare y = 2x ^ 2 + 12x + 5. Factorizăm coeficientul 2 din primii doi termeni, scriind acest lucru ca:

y = 2 (x ^ 2 + 6x) + 5

y = 2 (x ^ 2 + 6x + 9-9 ) +5

Putem finaliza calculul după cum urmează:

\ begin {align} y & = 2 ((x + 3) ^ 2-9) +5 \\ & = 2 (x + 3) ^ 2-18 + 5 \\ & = (x + 3) ^ 2-13 \ end {align}

Deci, vârful acestei parabole este (-3, -13).

Graficarea ecuațiilor quadratice în formă standard

O funcție pătratică este o funcție polinomială de forma y = ax ^ 2 + bx + c.

O funcție pătratică sub forma

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + x

este în formă standard.

Indiferent de format, graficul unei funcții pătratice este o parabolă.

Coeficienții și graficele funcției quadratice

Fiecare coeficient dintr-o funcție pătratică în formă standard are un impact asupra formei și plasării graficului funcției.

Coeficientul lui x ^ 2, a

Coeficientul a controlează viteza de creștere (sau scădere) a funcției pătratice de la vârf. Un a mai mare, pozitiv, face ca funcția să crească mai repede și graficul să pară mai subțire.

Axis of Symmetry

x = – \ dfrac {b} {2a}

x = – \ frac {-4} {2 \ cdot 2} = 1

Vârful are și coordonata x 1.

Interceptarea y a Parabolei