Polígono

Um polígono é uma forma plana (bidimensional) com lados retos. Os exemplos incluem triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos e assim por diante.

Regular

A “Polígono regular “tem: todos os lados iguais e todos os ângulos iguais. Caso contrário, é irregular.

Pentágono regular Pentágono irregular

Aqui, olhamos apenas para polígonos regulares.

Propriedades

Então, o que podemos saber sobre polígonos regulares? Em primeiro lugar, podemos calcular os ângulos.

Ângulo externo O ângulo externo é o ângulo entre qualquer lado de uma forma, e uma linha estendida do próximo lado.

Todos os ângulos externos de um polígono somam 360 °, portanto:

Cada ângulo externo deve ser 360 ° / n

(onde n é o número de lados)

Pressione o botão Reproduzir para ver.

Ângulos internos O Interior Ang le e o ângulo externo são medidos a partir da mesma linha, então eles somam 180 °.

Ângulo interno = 180 ° – Ângulo externo

Conhecemos o ângulo externo = 360 ° / n, então:

Ângulo interno = 180 ° – 360 ° / n

E agora para alguns nomes:

“Circumcircle, Incircle, Radius and Apothem …”

Parece bastante musical se você repetir algumas vezes, mas são apenas os nomes do “externo” e “interno “círculos (e cada raio) que podem ser desenhados em um polígono como este:

O círculo “externo” é chamado de circunferência e conecta todos os vértices (pontos de canto) do polígono.

O raio do círculo circunflexo também é o raio do polígono.

O círculo “interno” é chamado de incircle e apenas toca cada lado do polígono em seu ponto médio.

O raio do incircle é o apótema do polígono.

(Nem todos os polígonos têm essas propriedades, mas os triângulos e os polígonos regulares têm).

Quebrando em T triângulos

Podemos aprender muito sobre polígonos regulares dividindo-os em triângulos como isto:

Observe que:

• a “base” do triângulo é um lado do polígono.
• a “altura” do triângulo é o “Apothem” do polígono

Agora, a área de um triângulo é a metade da base vezes a altura, então:

Área de um triângulo = base × altura / 2 = lado × apótema / 2

Para obter a área de todo o polígono, basta somar as áreas de todos os pequenos triângulos (“n” deles):

Área do polígono = n × lado × apótema / 2

E como o perímetro é todos os lados = n × lado, obtemos:

Área do polígono = perímetro × apótema / 2

Um triângulo menor

Cortando o triângulo ao meio, obtemos o seguinte:

( Observação: os ângulos estão em radianos, não em graus)

O pequeno triângulo é retângulo e, portanto, podemos usar seno, cosseno e tangente para fi e como o lado, raio, apótema en (número de lados) estão relacionados:

Existem muito mais relacionamentos como esses (a maioria deles apenas “rearranjos”), mas esses servirão para agora.

Mais fórmulas de área

Podemos usar isso para calcular a área quando conhecemos apenas o Apothem:

E existem 2 desses triângulos por lado, ou 2n para todo o polígono:

Área do polígono = n × Apothem2 × tan (π / n)

Quando não conhecemos o Apothem, podemos usar a mesma fórmula mas retrabalhado para Raio ou Lado:

Área do polígono = ½ × n × Raio2 × sin (2 × π / n)

Área do polígono = ¼ × n × Side2 / tan (π / n)

Uma tabela de valores

E aqui está uma tabela de Side, Apothem e Area comparada a um raio de “1”, usando as fórmulas que nós funcionou: