Rozkład prawdopodobieństwa

Materia i fotony to fale, co oznacza, że są rozłożone na pewną odległość. Jakie jest położenie cząstki, takiej jak elektron? Czy znajduje się w środku fali? Odpowiedź leży w tym, jak mierzysz pozycję elektronu. Eksperymenty pokazują, że elektron znajduje się w określonym miejscu, w przeciwieństwie do fali. Ale jeśli ustawisz dokładnie tę samą sytuację i zmierzysz ją ponownie, znajdziesz elektron w innym miejscu, często daleko poza jakąkolwiek niepewnością eksperymentalną w twoim pomiarze. Powtarzane pomiary spowodują wyświetlenie statystycznego rozkładu lokalizacji, które wyglądają jak fale. (Patrz rysunek 1.)

Po tym, jak de Broglie zaproponował falową naturę materii, wielu fizyków, w tym Schrödinger i Heisenberg zbadali konsekwencje. Pomysł szybko pojawił się, że ze względu na jej falowy charakter trajektorii i przeznaczenia cząstki nie można dokładnie przewidzieć dla każdej cząstki z osobna. Jednak każda cząstka trafia w określone miejsce (jak pokazano na rysunku 1). Po zebraniu wystarczającej ilości danych otrzymasz rozkład związany z długością fali cząstki i wzorem dyfrakcji. Istnieje pewne prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym miejscu, a ogólny wzorzec nazywa się rozkładem prawdopodobieństwa. Ci, którzy rozwinęli mechanikę kwantową, opracowali równania, które przewidywały rozkład prawdopodobieństwa w różnych okolicznościach.

Nieco niepokojące jest myślenie, że nie można dokładnie przewidzieć, gdzie pojedzie pojedyncza cząstka, ani nawet podążać za nią do celu. Zbadajmy, co się stanie, jeśli spróbujemy podążać za cząstką. Rozważmy wzory podwójnych szczelin uzyskane dla elektronów i fotonów na rysunku 2. Po pierwsze, zauważamy, że te wzory są identyczne, po d sin θ = mλ, równaniu konstruktywnej interferencji z podwójną szczeliną opracowanym w Energiach fotonów i widmie elektromagnetycznym, gdzie d to separacja szczelin, a λ to długość fali elektronu lub fotonu.

Oba wzory budują się statystycznie, gdy poszczególne cząstki spadają na detektor. Można to zaobserwować w przypadku fotonów lub elektronów – na razie skupmy się na elektronach. Możesz sobie wyobrazić, że elektrony zakłócają się nawzajem, jak każda inna fala. Aby to przetestować, możesz zmniejszyć intensywność, aż nigdy nie będzie więcej niż jeden elektron między szczelinami a ekranem. Powstaje ten sam wzór interferencji! Oznacza to, że rozkład prawdopodobieństwa cząstki obejmuje obie szczeliny, a cząstki faktycznie sobie przeszkadzają. Czy to również oznacza, że elektron przechodzi przez obie szczeliny? Elektron to podstawowa jednostka materii, której nie można podzielić. Ale to uczciwe pytanie, więc powinniśmy sprawdzić, czy elektron przechodzi przez jedną szczelinę, czy drugą, czy też obie. Jedną z możliwości jest posiadanie cewek wokół szczelin, które wykrywają ładunki przechodzące przez nie. Zaobserwowano, że elektron zawsze przechodzi przez jedną lub drugą szczelinę; nie rozdziela się, aby przejść przez oba. Ale jest w tym haczyk. Jeśli stwierdzisz, że elektron przeszedł przez jedną ze szczelin, nie otrzymasz już wzoru podwójnej szczeliny – zamiast tego otrzymasz interferencję w jednej szczelinie. Nie ma ucieczki, używając innej metody określania, przez którą szczelinę przeszedł elektron. Wiedza, że cząstka przeszła przez jedną szczelinę, wymusza wzór pojedynczej szczeliny. Jeśli nie zaobserwujesz, przez którą szczelinę przechodzi elektron, uzyskasz wzór podwójnej szczeliny.

Niepewność Heisenberga

W jaki sposób wiedza, przez którą szczelinę przeszedł elektron, zmienia wzór? Odpowiedź jest fundamentalnie ważna – pomiar wpływa na obserwowany system. Informacje mogą zostać utracone, aw niektórych przypadkach niemożliwe jest jednoczesne zmierzenie dwóch wielkości fizycznych z dokładną dokładnością. Na przykład, możesz zmierzyć położenie poruszającego się elektronu, rozpraszając z niego światło lub inne elektrony.Te sondy same mają pęd i przez rozpraszanie się od elektronu zmieniają jego pęd w sposób, który powoduje utratę informacji. Wiedza absolutna jest ograniczona, nawet w zasadzie.

To Werner Heisenberg jako pierwszy określił tę granicę wiedzy w 1929 r. w wyniku swojej pracy nad mechaniką kwantową i charakterystyką falową wszystkich cząstek . (Patrz rysunek 3). W szczególności rozważ jednoczesny pomiar położenia i pędu elektronu (może to być dowolna cząstka). Istnieje niepewność pozycji Δx, która jest w przybliżeniu równa długości fali cząstki. To znaczy Δx ≈ λ.

Jak omówiono powyżej, fala nie znajduje się w jednym punkcie w przestrzeni. Jeśli pozycja elektronu jest mierzona wielokrotnie, zaobserwowany zostanie rozrzut w lokalizacjach, co oznacza niepewność pozycji Δx. Aby wykryć położenie cząstki, musimy z nią wejść w interakcję, na przykład zderzyć się z detektorem. Podczas zderzenia cząstka straci pęd. Ta zmiana pędu może wynosić od bliskiej zeru do całkowitego pędu cząstki, p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Nie jest możliwe określenie, ile pędu zostanie przekazane do detektora, dlatego istnieje również niepewność co do pędu Δp. W rzeczywistości niepewność pędu może być tak duża, jak sam pęd, co w postaci równania oznacza, że \ Delta {p} \ ok \ frac {h} {\ lambda} \\.

Niepewność w położeniu można zredukować za pomocą elektronu o krótszej długości fali, ponieważ Δx ≈ λ. Ale skrócenie długości fali zwiększa niepewność pędu, ponieważ p = \ frac {h} {\ lambda} \\. I odwrotnie, niepewność pędu można zmniejszyć, używając elektronu o większej długości fali, ale zwiększa to niepewność położenia. Matematycznie można wyrazić ten kompromis, mnożąc niepewności. Długość fali anuluje się, pozostawiając ΔxΔp ≈ h.

Więc jeśli jedna niepewność jest zmniejszona, druga musi wzrosnąć, aby ich iloczyn wynosił ≈h.

Jest to znane jako zasada nieoznaczoności Heisenberga . Niemożliwe jest jednoczesne zmierzenie położenia x i pędu p z niepewnościami Δx i Δp, które mnożą się, aby były mniejsze niż \ frac {h} {4 \ pi} \\. Żadna niepewność nie może wynosić zero. Żadna niepewność nie może stać się mała, a druga nie stanie się duża. Mała długość fali pozwala na dokładny pomiar pozycji, ale zwiększa pęd sondy do tego stopnia, że dodatkowo zaburza pęd mierzonego układu. Na przykład, jeśli elektron jest rozpraszany z atomu i ma długość fali wystarczająco małą, aby wykryć położenie elektronów w atomie, jego pęd może wyrzucić elektrony z ich orbit w sposób, który powoduje utratę informacji o ich pierwotnym ruchu. Dlatego niemożliwe jest śledzenie elektronu krążącego po jego orbicie wokół atomu. Jeśli zmierzysz pozycję elektronu, znajdziesz go w określonym miejscu, ale atom zostanie zakłócony. Powtarzane pomiary na identycznych atomach dadzą interesujące rozkłady prawdopodobieństwa dla elektronów wokół atomu, ale nie dostarczą informacji o ruchu. Rozkłady prawdopodobieństwa są określane jako chmury elektronów lub orbitale. Kształty tych orbitali są często przedstawiane w ogólnych tekstach z chemii i omówione w The Wave Nature of Matter Causes Quantization.

Dlaczego nie zauważamy zasady nieoznaczoności Heisenberga w życiu codziennym? Odpowiedź brzmi, że stała Plancka jest bardzo mała. Zatem dolna granica niepewności pomiaru położenia i pędu dużych obiektów jest pomijalna. Możemy wykryć światło słoneczne odbite od Jowisza i śledzić planetę po jej orbicie wokół Słońca. Odbite światło słoneczne zmienia pęd Jowisza i powoduje niepewność co do jego pędu, ale jest to całkowicie nieistotne w porównaniu z ogromnym pędem Jowisza. Zasada zgodności mówi nam, że przewidywania mechaniki kwantowej stają się nie do odróżnienia od klasycznej fizyki dla dużych obiektów, co ma miejsce w tym przypadku.

Niepewność Heisenberga dla energii i czasu

Istnieje inna forma zasady nieoznaczoności Heisenberga dla jednoczesnych pomiarów energii i czasu. W formie równania \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, gdzie ΔE to niepewność energii, a Δt to niepewność w czasie.Oznacza to, że w przedziale czasu Δt nie jest możliwe dokładne zmierzenie energii – w pomiarze wystąpi niepewność ΔE. Aby dokładniej zmierzyć energię (zmniejszyć ΔE), musimy zwiększyć Δt. Ten przedział czasu może być czasem potrzebnym na wykonanie pomiaru lub może to być czas, przez jaki istnieje określony stan, jak w następnym przykładzie 2.

Zasada nieoznaczoności dotycząca energii i czasu może mieć duże znaczenie, jeśli okres użytkowania systemu jest bardzo krótki. Wtedy Δt jest bardzo małe, a ΔE jest w konsekwencji bardzo duże. Niektóre jądra i egzotyczne cząstki mają niezwykle krótkie czasy życia (zaledwie 10-25 s), co powoduje niepewność energetyczną tak dużą, jak wiele GeV (109 eV). Zmagazynowana energia pojawia się jako zwiększona masa spoczynkowa, co oznacza, że istnieje znaczna niepewność dotycząca masy spoczynkowej krótkotrwałych cząstek. Przy wielokrotnym pomiarze uzyskuje się rozrzut mas lub energie rozpadu. Rozpiętość wynosi ΔE. Możesz zapytać, czy tej niepewności energetycznej można uniknąć, nie mierząc czasu życia. Odpowiedź brzmi nie. Natura zna długość życia, więc jej zwięzłość wpływa na energię cząstki. Jest to tak dobrze potwierdzone eksperymentalnie, że niepewność energii rozpadu jest używana do obliczania czasu życia stanów krótkotrwałych. Niektóre jądra i cząstki żyją tak krótko, że trudno jest zmierzyć ich żywotność. Ale jeśli można zmierzyć ich energię rozpadu, jej rozrzut wynosi ΔE i jest to używane w zasadzie nieoznaczoności \ left (\ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \ right) \\ do obliczenia czasu życia Δt.

Jest jeszcze jedna konsekwencja zasady nieoznaczoności dla energii i czasu. Jeśli energia jest niepewna ΔE, wówczas zasada zachowania energii może zostać naruszona przez ΔE przez czas Δt. Ani fizyk, ani natura nie mogą stwierdzić, że zasada zachowania energii została naruszona, jeśli naruszenie to jest tymczasowe i mniejsze niż niepewność energetyczna. Chociaż brzmi to wystarczająco nieszkodliwie, w dalszych rozdziałach zobaczymy, że pozwala na tymczasowe tworzenie materii z niczego i ma wpływ na sposób, w jaki natura przenosi siły na bardzo małe odległości.

Na koniec zwróć uwagę, że omawiając cząstek i fal stwierdziliśmy, że indywidualne pomiary dają precyzyjne lub podobne do cząstek wyniki. Na przykład za każdym razem, gdy obserwujemy elektron, ustalana jest określona pozycja. Jednak powtarzane pomiary powodują rozrzut wartości zgodny z charakterystyką fal. Wielki fizyk teoretyczny Richard Feynman (1918–1988) skomentował: „To, co tam jest, to cząstki”. Kiedy obserwujesz ich dostateczną liczbę, rozkładają się tak, jak można by się spodziewać w przypadku zjawiska falowego. Jednak nie możemy powiedzieć, jakie są podczas podróży, ponieważ kiedy próbujemy zmierzyć, wpływamy na podróżowanie.

Podsumowanie sekcji

• Stwierdzono, że materia ma taką samą charakterystykę interferencji jak każda inna fala.
• Istnieje teraz rozkład prawdopodobieństwa dla lokalizacji cząstki, a nie określony pozycji.
• Inną konsekwencją falowego charakteru wszystkich cząstek jest zasada nieoznaczoności Heisenberga, która ogranicza precyzję, z jaką pewne wielkości fizyczne mogą być znane jednocześnie. Dla położenia i pędu zasadą nieoznaczoności jest \ Delta { x} \ Delta {p} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, gdzie Δx to niepewność pozycji, a Δp to niepewność pędu.
• W przypadku energii i czasu Zasada nieoznaczoności to \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, gdzie ΔE to niepewność energii, a Δt to niepewność w czasie.
• Te małe granice mają fundamentalne znaczenie w skali mechaniki kwantowej.

Glosariusz

Zasada nieoznaczoności Heisenberga: podstawowe ograniczenie precyzji, z jaką pary wielkości (pęd i pozycji, energii i czasu) można zmierzyć

niepewność energetyczna: brak precyzji lub brak znajomości dokładnych wyników pomiarów energii

niepewność czasowa: brak precyzji lub brak znajomości dokładnych wyników pomiarów czasu

niepewność pędu: brak precyzji lub brak znajomości dokładnych wyników pomiarów pędu

niepewność pozycji: brak precyzji lub brak znajomości dokładnych wyników pomiarów pozycji

rozkład prawdopodobieństwa: ogólny przestrzenny rozkład prawdopodobieństw znalezienia cząstki w danym miejscu