Wahrscheinlichkeitsverteilung

Materie und Photonen sind Wellen, was bedeutet, dass sie sich über eine gewisse Entfernung ausbreiten. Wie ist die Position eines Teilchens wie eines Elektrons? Ist es im Zentrum der Welle? Die Antwort liegt darin, wie Sie die Position eines Elektrons messen. Experimente zeigen, dass Sie das Elektron im Gegensatz zu einer Welle an einem bestimmten Ort finden. Wenn Sie jedoch genau dieselbe Situation einrichten und erneut messen, finden Sie das Elektron an einem anderen Ort, oft weit außerhalb jeglicher experimenteller Unsicherheit bei Ihrer Messung. Wiederholte Messungen zeigen eine statistische Verteilung von Orten an, die wellenförmig erscheinen. (Siehe Abbildung 1.)

Nachdem de Broglie die Wellennatur der Materie vorgeschlagen hatte, haben viele Physiker, einschließlich Schrödinger und Heisenberg untersuchten die Konsequenzen. Es entstand schnell die Idee, dass die Flugbahn und das Ziel eines Partikels aufgrund seines Wellencharakters nicht für jedes Partikel einzeln genau vorhergesagt werden können. Jedes Partikel befindet sich jedoch an einem bestimmten Ort (wie in Abbildung 1 dargestellt). Nachdem Sie genügend Daten zusammengestellt haben, erhalten Sie eine Verteilung in Bezug auf die Wellenlänge und das Beugungsmuster des Partikels. Es besteht eine gewisse Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden, und das Gesamtmuster wird als Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet. Diejenigen, die die Quantenmechanik entwickelt haben, haben Gleichungen entwickelt, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung unter verschiedenen Umständen vorhersagen.

Es ist etwas beunruhigend zu glauben, dass Sie nicht genau vorhersagen können, wohin ein einzelnes Teilchen gehen oder ihm sogar bis zu seinem Ziel folgen wird. Lassen Sie uns untersuchen, was passiert, wenn wir versuchen, einem Partikel zu folgen. Betrachten Sie die Doppelspaltmuster, die in Abbildung 2 für Elektronen und Photonen erhalten wurden. Zunächst stellen wir fest, dass diese Muster nach d sin θ = mλ, der in Photonenenergien und im elektromagnetischen Spektrum entwickelten Gleichung für konstruktive Doppelspaltinterferenz, identisch sind d ist die Spalttrennung und λ ist die Elektronen- oder Photonenwellenlänge.

Beide Muster bauen sich statistisch auf, wenn einzelne Partikel darauf fallen der Detektor. Dies kann für Photonen oder Elektronen beobachtet werden – konzentrieren wir uns zunächst auf Elektronen. Sie können sich vorstellen, dass sich die Elektronen wie Wellen gegenseitig stören. Um dies zu testen, können Sie die Intensität verringern, bis sich nie mehr als ein Elektron zwischen den Schlitzen und dem Bildschirm befindet. Das gleiche Interferenzmuster baut sich auf! Dies impliziert, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Partikels beide Schlitze überspannt und die Partikel sich tatsächlich selbst stören. Bedeutet dies auch, dass das Elektron beide Schlitze durchläuft? Ein Elektron ist eine Grundeinheit der Materie, die nicht teilbar ist. Aber es ist eine faire Frage, und deshalb sollten wir sehen, ob das Elektron den einen oder den anderen Schlitz oder beide durchquert. Eine Möglichkeit besteht darin, Spulen um die Schlitze zu haben, die Ladungen erfassen, die sich durch sie bewegen. Was beobachtet wird, ist, dass ein Elektron immer durch den einen oder anderen Schlitz geht; es teilt sich nicht, um beide zu durchlaufen. Aber es gibt einen Haken. Wenn Sie feststellen, dass das Elektron durch einen der Schlitze gegangen ist, erhalten Sie kein Doppelspaltmuster mehr, sondern eine Einzelspaltinterferenz. Es gibt kein Entkommen, wenn eine andere Methode verwendet wird, um zu bestimmen, durch welchen Spalt das Elektron gegangen ist. Wenn man weiß, dass das Teilchen durch einen Spalt gegangen ist, entsteht ein Einzelspaltmuster. Wenn Sie nicht beobachten, durch welchen Spalt das Elektron geht, erhalten Sie ein Doppelspaltmuster.

Heisenberg-Unsicherheit

Wie ändert sich das Muster, wenn Sie wissen, durch welchen Spalt das Elektron hindurchgegangen ist? Die Antwort ist von grundlegender Bedeutung – die Messung wirkt sich auf das beobachtete System aus. Informationen können verloren gehen, und in einigen Fällen ist es unmöglich, zwei physikalische Größen gleichzeitig mit exakter Genauigkeit zu messen. Sie können beispielsweise die Position eines sich bewegenden Elektrons messen, indem Sie Licht oder andere Elektronen von ihm streuen.Diese Sonden haben selbst einen Impuls, und durch Streuung vom Elektron ändern sie seinen Impuls auf eine Weise, die Informationen verliert. Absolutes Wissen ist auch im Prinzip begrenzt.

Es war Werner Heisenberg, der diese Wissensgrenze erstmals 1929 aufgrund seiner Arbeiten zur Quantenmechanik und den Welleneigenschaften aller Teilchen festlegte . (Siehe Abbildung 3). Erwägen Sie insbesondere, gleichzeitig die Position und den Impuls eines Elektrons zu messen (es kann sich um ein beliebiges Teilchen handeln). Es gibt eine Unsicherheit in der Position Δx, die ungefähr gleich der Wellenlänge des Partikels ist. Das heißt, Δx ≈ λ. Wie oben diskutiert, befindet sich eine Welle nicht an einem Punkt im Raum. Wenn die Position des Elektrons wiederholt gemessen wird, wird eine Ausbreitung an Orten beobachtet, was eine Unsicherheit in der Position Δx impliziert. Um die Position des Partikels zu erfassen, müssen wir mit ihm interagieren, z. B. wenn er mit einem Detektor kollidiert. Bei der Kollision verliert das Teilchen an Schwung. Diese Impulsänderung kann irgendwo nahe Null bis zum Gesamtimpuls des Teilchens liegen, p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Es ist nicht möglich zu sagen, wie viel Impuls auf einen Detektor übertragen wird, und daher besteht auch eine Unsicherheit im Impuls Δp. Tatsächlich kann die Unsicherheit im Impuls so groß sein wie der Impuls selbst, was in Gleichungsform bedeutet, dass \ Delta {p} \ approx \ frac {h} {\ lambda} \\.

Die Unsicherheit in Position kann durch Verwendung eines Elektrons mit kürzerer Wellenlänge reduziert werden, da Δx ≈ λ. Eine Verkürzung der Wellenlänge erhöht jedoch die Impulsunsicherheit, da p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Umgekehrt kann die Impulsunsicherheit durch Verwendung eines längerwelligen Elektrons verringert werden, dies erhöht jedoch die Positionsunsicherheit. Mathematisch können Sie diesen Kompromiss ausdrücken, indem Sie die Unsicherheiten multiplizieren. Die Wellenlänge bricht ab und es verbleibt ΔxΔp ≈ h. Wenn also eine Unsicherheit verringert wird, muss die andere zunehmen, so dass ihr Produkt ≈h ist.

Dies ist als Heisenberg-Unsicherheitsprinzip bekannt . Es ist unmöglich, Position x und Impuls p gleichzeitig mit Unsicherheiten Δx und Δp zu messen, die sich multiplizieren, um kleiner als \ frac {h} {4 \ pi} \\ zu sein. Keine der Unsicherheiten kann Null sein. Keine der Unsicherheiten kann klein werden, ohne dass die andere groß wird. Eine kleine Wellenlänge ermöglicht eine genaue Positionsmessung, erhöht jedoch den Impuls der Sonde bis zu dem Punkt, an dem der Impuls eines gemessenen Systems weiter gestört wird. Wenn beispielsweise ein Elektron von einem Atom gestreut wird und eine Wellenlänge hat, die klein genug ist, um die Position von Elektronen im Atom zu erfassen, kann sein Impuls die Elektronen auf eine Weise aus ihren Bahnen stoßen, die Informationen über ihre ursprüngliche Bewegung verliert. Es ist daher unmöglich, einem Elektron in seiner Umlaufbahn um ein Atom zu folgen. Wenn Sie die Position des Elektrons messen, finden Sie es an einem bestimmten Ort, aber das Atom wird zerstört. Wiederholte Messungen an identischen Atomen ergeben interessante Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Elektronen um das Atom, aber keine Bewegungsinformationen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden als Elektronenwolken oder Orbitale bezeichnet. Die Formen dieser Orbitale werden häufig in allgemeinen Chemietexten gezeigt und in The Wave Nature of Matter Ursachen Quantisierung diskutiert.

Warum bemerken wir Heisenbergs Unschärferelation im Alltag nicht? Die Antwort ist, dass die Plancksche Konstante sehr klein ist. Somit ist die Untergrenze der Unsicherheit bei der Messung der Position und des Impulses großer Objekte vernachlässigbar. Wir können das vom Jupiter reflektierte Sonnenlicht erkennen und dem Planeten in seiner Umlaufbahn um die Sonne folgen. Das reflektierte Sonnenlicht verändert den Impuls des Jupiter und erzeugt eine Unsicherheit in seinem Impuls, aber dies ist im Vergleich zu Jupiters großem Impuls völlig vernachlässigbar. Das Korrespondenzprinzip besagt, dass die Vorhersagen der Quantenmechanik für große Objekte nicht mehr von der klassischen Physik zu unterscheiden sind, was hier der Fall ist.

Heisenberg-Unsicherheit für Energie und Zeit

Es gibt eine andere Form des Heisenbergschen Unsicherheitsprinzips zur gleichzeitigen Messung von Energie und Zeit. In Gleichungsform ist \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, wobei ΔE die Energieunsicherheit und Δt die Zeitunsicherheit ist.Dies bedeutet, dass es innerhalb eines Zeitintervalls Δt nicht möglich ist, Energie genau zu messen – es gibt eine Unsicherheit ΔE bei der Messung. Um die Energie genauer zu messen (um ΔE kleiner zu machen), müssen wir Δt erhöhen. Dieses Zeitintervall kann die Zeit sein, die wir für die Messung benötigen, oder es kann die Zeit sein, die ein bestimmter Zustand existiert, wie im nächsten Beispiel 2.

Das Unsicherheitsprinzip für Energie und Zeit kann von großer Bedeutung sein, wenn die Lebensdauer eines Systems sehr kurz ist. Dann ist Δt sehr klein und ΔE ist folglich sehr groß. Einige Kerne und exotische Partikel haben extrem kurze Lebensdauern (nur 10-25 s), was zu Energieunsicherheiten führt, die so groß sind wie viele GeV (109 eV). Gespeicherte Energie erscheint als erhöhte Ruhemasse, was bedeutet, dass die Ruhemasse kurzlebiger Partikel eine erhebliche Unsicherheit aufweist. Bei wiederholter Messung wird eine Ausbreitung von Massen oder Zerfallsenergien erhalten. Die Streuung beträgt ΔE. Sie könnten sich fragen, ob diese Energieunsicherheit vermieden werden könnte, wenn Sie die Lebensdauer nicht messen. Die Antwort ist nein. Die Natur kennt das Leben und so beeinflusst ihre Kürze die Energie des Teilchens. Dies ist experimentell so gut belegt, dass die Unsicherheit der Zerfallsenergie zur Berechnung der Lebensdauer kurzlebiger Zustände verwendet wird. Einige Kerne und Partikel sind so kurzlebig, dass es schwierig ist, ihre Lebensdauer zu messen. Wenn jedoch ihre Zerfallsenergie gemessen werden kann, beträgt ihre Ausbreitung ΔE, und dies wird im Unsicherheitsprinzip \ left (\ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \ right) verwendet. \\ zur Berechnung der Lebensdauer Δt.

Es gibt eine weitere Konsequenz des Unsicherheitsprinzips für Energie und Zeit. Wenn die Energie durch ΔE unsicher ist, kann die Energieerhaltung durch ΔE für eine Zeit Δt verletzt werden. Weder der Physiker noch die Natur können feststellen, dass die Energieerhaltung verletzt wurde, wenn die Verletzung vorübergehend ist und geringer ist als die Energieunsicherheit. Während dies harmlos genug klingt, werden wir in späteren Kapiteln sehen, dass es die vorübergehende Erzeugung von Materie aus dem Nichts ermöglicht und Auswirkungen darauf hat, wie die Natur Kräfte über sehr kleine Entfernungen überträgt.

Beachten Sie dies schließlich in der Diskussion von Partikel und Wellen haben wir festgestellt, dass einzelne Messungen präzise oder partikelähnliche Ergebnisse liefern. Zum Beispiel wird jedes Mal eine bestimmte Position bestimmt, wenn wir ein Elektron beobachten. Wiederholte Messungen führen jedoch zu einer Streuung der Werte, die mit den Welleneigenschaften übereinstimmen. Der große theoretische Physiker Richard Feynman (1918–1988) kommentierte: „Was es gibt, sind Teilchen.“ Wenn Sie genug von ihnen beobachten, verteilen sie sich so, wie Sie es für ein Wellenphänomen erwarten würden. Was es jedoch auf ihrer Reise gibt, können wir nicht sagen, da wir beim Messen versuchen, das Reisen zu beeinflussen.

Abschnittszusammenfassung

• Materie hat die gleichen Interferenzeigenschaften wie jede andere Welle.
• Es gibt jetzt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Ort eines Partikels anstelle einer bestimmten Position.
• Eine weitere Konsequenz des Wellencharakters aller Teilchen ist das Heisenberg-Unsicherheitsprinzip, das die Genauigkeit begrenzt, mit der bestimmte physikalische Größen gleichzeitig bekannt sein können. Für Position und Impuls lautet das Unsicherheitsprinzip \ Delta { x} \ Delta {p} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, wobei Δx die Unsicherheit in der Position und Δp die Unsicherheit im Impuls ist.
• Für Energie und Zeit ist die Das Unsicherheitsprinzip ist \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\ wobei ΔE die Unsicherheit in der Energie und Δt die Unsicherheit in der Zeit ist.
• Diese kleinen Grenzen sind auf der quantenmechanischen Skala von grundlegender Bedeutung.

Glossar

Heisenbergs Unsicherheitsprinzip: eine grundlegende Grenze für die Genauigkeit, mit der Größenpaare (Impuls) und Position sowie Energie und Zeit) können gemessen werden.

Unsicherheit in Bezug auf Energie: mangelnde Präzision oder mangelnde Kenntnis präziser Ergebnisse bei Messungen der Energie

Unsicherheit in Bezug auf Zeit: mangelnde Präzision oder mangelnde Kenntnis präziser Ergebnisse bei Messungen der Zeit

Unsicherheit im Impuls: mangelnde Präzision oder mangelnde Kenntnis präziser Ergebnisse bei Messungen der Impulsunsicherheit

Unsicherheit in der Position: mangelnde Genauigkeit oder mangelnde Kenntnis der genauen Ergebnisse bei Messungen der Positionswahrscheinlichkeitsverteilung: die räumliche Gesamtverteilung der Wahrscheinlichkeiten, um ein Partikel an einem bestimmten Ort zu finden.