Kansverdeling

Materie en fotonen zijn golven, wat inhoudt dat ze over een bepaalde afstand zijn verspreid. Wat is de positie van een deeltje, zoals een elektron? Is het in het midden van de golf? Het antwoord ligt in hoe je de positie van een elektron meet. Experimenten tonen aan dat je het elektron op een bepaalde locatie zult vinden, in tegenstelling tot een golf. Maar als je precies dezelfde situatie opzet en opnieuw meet, vind je het elektron op een andere locatie, vaak ver buiten de experimentele onzekerheid in je meting. Herhaalde metingen geven een statistische verdeling van locaties weer die golfachtig lijken. (Zie figuur 1.)

Nadat de Broglie de golfkarakteristiek van materie had voorgesteld, hebben veel natuurkundigen, waaronder Schrödinger en Heisenberg, onderzochten de gevolgen. Al snel kwam het idee naar voren dat, vanwege zijn golfkarakter, het traject en de bestemming van een deeltje niet precies voor elk deeltje afzonderlijk kan worden voorspeld. Elk deeltje gaat echter naar een bepaalde plaats (zoals geïllustreerd in figuur 1). Nadat u voldoende gegevens heeft verzameld, krijgt u een verdeling die verband houdt met de golflengte en het diffractiepatroon van het deeltje. Er is een zekere kans om het deeltje op een bepaalde locatie te vinden, en het algehele patroon wordt een kansverdeling genoemd. Degenen die de kwantummechanica ontwikkelden, bedachten vergelijkingen die de kansverdeling in verschillende omstandigheden voorspelden.

Het is enigszins verontrustend te denken dat je niet precies kunt voorspellen waar een individueel deeltje naartoe zal gaan, of het zelfs maar naar zijn bestemming kan volgen. Laten we eens kijken wat er gebeurt als we een deeltje proberen te volgen. Beschouw de patronen met dubbele sleuven die zijn verkregen voor elektronen en fotonen in figuur 2. Ten eerste merken we op dat deze patronen identiek zijn, volgend op d sin θ = mλ, de vergelijking voor constructieve interferentie met dubbele sleuven die is ontwikkeld in fotonenergieën en het elektromagnetische spectrum, waarbij d is de spleetscheiding en λ is de golflengte van het elektron of foton.

Beide patronen bouwen zich statistisch op als individuele deeltjes erop vallen de detector. Dit kan worden waargenomen voor fotonen of elektronen – laten we ons voorlopig concentreren op elektronen. Je zou je kunnen voorstellen dat de elektronen met elkaar interfereren zoals golven dat doen. Om dit te testen, kun je de intensiteit verlagen totdat er nooit meer dan één elektron tussen de spleten en het scherm zit. Hetzelfde interferentiepatroon bouwt zich op! Dit houdt in dat de waarschijnlijkheidsverdeling van een deeltje beide spleten omvat en dat de deeltjes zichzelf daadwerkelijk verstoren. Betekent dit ook dat het elektron door beide spleten gaat? Een elektron is een basiseenheid van materie die niet deelbaar is. Maar het is een terechte vraag, en dus moeten we kijken of het elektron de ene of de andere spleet doorkruist, of beide. Een mogelijkheid is om spoelen rond de spleten te hebben die ladingen detecteren die erdoorheen bewegen. Wat wordt opgemerkt is dat een elektron altijd door de ene of de andere spleet gaat; het splitst niet om beide te doorlopen. Maar er is een addertje onder het gras. Als je vaststelt dat het elektron door een van de spleten is gegaan, krijg je niet langer een dubbel spleetpatroon – in plaats daarvan krijg je interferentie met een enkele spleet. Er is geen ontkomen aan door een andere methode te gebruiken om te bepalen door welke spleet het elektron is gegaan. Weten dat het deeltje door één spleet ging, dwingt een patroon met één spleet. Als je niet waarneemt door welke spleet het elektron gaat, krijg je een dubbel spleetpatroon.

Heisenberg-onzekerheid

Hoe verandert het patroon als je weet door welke spleet het elektron is gegaan? Het antwoord is van fundamenteel belang: metingen zijn van invloed op het systeem dat wordt geobserveerd. Er kan informatie verloren gaan en in sommige gevallen is het onmogelijk om twee fysieke grootheden tegelijkertijd exact te meten. Je kunt bijvoorbeeld de positie van een bewegend elektron meten door er licht of andere elektronen uit te verstrooien.Die sondes hebben zelf een momentum en door zich vanuit het elektron te verspreiden, veranderen ze het momentum op een manier die informatie verliest. Er is een limiet aan absolute kennis, zelfs in principe.

Het was Werner Heisenberg die voor het eerst deze limiet op kennis stelde in 1929 als resultaat van zijn werk aan kwantummechanica en de golfkarakteristieken van alle deeltjes . (Zie afbeelding 3). Overweeg in het bijzonder om tegelijkertijd de positie en het momentum van een elektron te meten (het kan elk deeltje zijn). Er is een onzekerheid in positie Δx die ongeveer gelijk is aan de golflengte van het deeltje. Dat wil zeggen, Δx ≈ λ.

Zoals hierboven besproken, bevindt een golf zich niet op een bepaald punt in de ruimte. Als de positie van het elektron herhaaldelijk wordt gemeten, wordt een spreiding in locaties waargenomen, wat een onzekerheid in positie Δx impliceert. Om de positie van het deeltje te detecteren, moeten we ermee omgaan, zoals het laten botsen met een detector. Bij de botsing verliest het deeltje momentum. Deze verandering in momentum kan overal zijn van bijna nul tot het totale momentum van het deeltje, p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Het is niet mogelijk om te zeggen hoeveel momentum wordt overgedragen naar een detector, en dus is er ook een onzekerheid in momentum Δp. In feite kan de onzekerheid in momentum zo groot zijn als het momentum zelf, wat in de vergelijkingsvorm betekent dat \ Delta {p} \ approx \ frac {h} {\ lambda} \\.

De onzekerheid in positie kan worden verminderd door een elektron met een kortere golflengte te gebruiken, aangezien Δx ≈ λ. Maar het verkorten van de golflengte vergroot de onzekerheid in momentum, aangezien p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Omgekeerd kan de onzekerheid in het momentum worden verminderd door een elektron met een langere golflengte te gebruiken, maar dit vergroot de onzekerheid in de positie. Wiskundig gezien kun je deze afweging uitdrukken door de onzekerheden te vermenigvuldigen. De golflengte annuleert, waardoor ΔxΔp ≈ h overblijft.

Dus als de ene onzekerheid wordt verminderd, moet de andere toenemen zodat hun product ≈h is.

Dit staat bekend als het Heisenberg-onzekerheidsprincipe . Het is onmogelijk om positie x en momentum p gelijktijdig te meten met onzekerheden Δx en Δp die vermenigvuldigen tot minder dan \ frac {h} {4 \ pi} \\. Geen van beide onzekerheden kan nul zijn. Geen van beide onzekerheden kan klein worden zonder dat de ander groot wordt. Een kleine golflengte maakt nauwkeurige positiemeting mogelijk, maar het verhoogt het momentum van de sonde tot het punt dat het het momentum van een systeem dat wordt gemeten verder verstoort. Als een elektron bijvoorbeeld wordt verstrooid door een atoom en een golflengte heeft die klein genoeg is om de positie van elektronen in het atoom te detecteren, kan het momentum de elektronen uit hun banen slaan op een manier die informatie over hun oorspronkelijke beweging verliest. Het is daarom onmogelijk om een elektron in zijn baan om een atoom te volgen. Als je de positie van het elektron meet, zul je het op een bepaalde locatie vinden, maar het atoom zal verstoord zijn. Herhaalde metingen aan identieke atomen zullen interessante kansverdelingen opleveren voor elektronen rond het atoom, maar ze zullen geen bewegingsinformatie produceren. De kansverdelingen worden elektronenwolken of orbitalen genoemd. De vormen van deze orbitalen worden vaak getoond in algemene scheikunde teksten en worden besproken in The Wave Nature of Matter Oorzaken Kwantisering.

Waarom merken we Heisenbergs onzekerheidsprincipe niet op in het dagelijks leven? Het antwoord is dat de constante van Planck erg klein is. De ondergrens in de onzekerheid van het meten van de positie en het momentum van grote objecten is dus verwaarloosbaar. We kunnen zonlicht detecteren dat wordt weerkaatst door Jupiter en de planeet volgen in zijn baan rond de zon. Het gereflecteerde zonlicht verandert het momentum van Jupiter en creëert een onzekerheid in het momentum, maar dit is totaal te verwaarlozen in vergelijking met het enorme momentum van Jupiter. Het correspondentieprincipe vertelt ons dat de voorspellingen van de kwantummechanica niet meer te onderscheiden zijn van de klassieke fysica voor grote objecten, wat hier het geval is.

Heisenberg Onzekerheid voor energie en tijd

Er is een andere vorm van Heisenbergs onzekerheidsprincipe voor gelijktijdige metingen van energie en tijd. In vergelijkingsvorm, \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, waarbij ΔE de onzekerheid in energie is en Δt de onzekerheid in tijd.Dit betekent dat het binnen een tijdsinterval Δt niet mogelijk is om energie nauwkeurig te meten – er zal een onzekerheid ΔE in de meting zijn. Om energie nauwkeuriger te meten (om ΔE kleiner te maken), moeten we Δt verhogen. Dit tijdsinterval kan de hoeveelheid tijd zijn die we nodig hebben om de meting uit te voeren, of het kan de hoeveelheid tijd zijn dat een bepaalde toestand bestaat, zoals in het volgende voorbeeld 2.

Het onzekerheidsprincipe voor energie en tijd kan van grote betekenis zijn als de levensduur van een systeem erg kort is. Dan is Δt heel klein, en ΔE dus heel groot. Sommige kernen en exotische deeltjes hebben een extreem korte levensduur (zo klein als 10−25 s), waardoor onzekerheden in energie zo groot zijn als veel GeV (109 eV). Opgeslagen energie verschijnt als verhoogde rustmassa, en dit betekent dus dat er aanzienlijke onzekerheid is in de restmassa van kortlevende deeltjes. Bij herhaaldelijke metingen wordt een spreiding van massa’s of vervallenergie verkregen. De spreiding is ΔE. Je zou je kunnen afvragen of deze onzekerheid in energie kan worden vermeden door de levensduur niet te meten. Het antwoord is nee. De natuur kent de levensduur, en dus heeft de beknoptheid ervan invloed op de energie van het deeltje. Dit is experimenteel zo goed ingeburgerd dat de onzekerheid in vervallenergie wordt gebruikt om de levensduur van kortstondige toestanden te berekenen. Sommige kernen en deeltjes zijn zo kortstondig dat het moeilijk is om hun levensduur te meten. Maar als hun vervallenergie kan worden gemeten, is de spreiding ΔE, en dit wordt gebruikt in het onzekerheidsprincipe \ left (\ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \ right) \\ om de levensduur Δt te berekenen.

Er is nog een gevolg van het onzekerheidsprincipe voor energie en tijd. Als energie onzeker is door ΔE, kan behoud van energie worden geschonden door ΔE gedurende een tijd Δt. Noch de natuurkundige, noch de natuur kan zeggen dat het behoud van energie is geschonden, als de schending tijdelijk is en kleiner dan de onzekerheid in energie. Hoewel dit onschuldig genoeg klinkt, zullen we in latere hoofdstukken zien dat het de tijdelijke creatie van materie uit het niets mogelijk maakt en implicaties heeft voor hoe de natuur krachten over zeer kleine afstanden overbrengt.

Merk ten slotte op dat in de bespreking van deeltjes en golven, hebben we verklaard dat individuele metingen nauwkeurige of deeltjesachtige resultaten opleveren. Elke keer dat we bijvoorbeeld een elektron waarnemen, wordt een definitieve positie bepaald. Maar herhaalde metingen produceren een spreiding in waarden die consistent zijn met golfkarakteristieken. De grote theoretisch natuurkundige Richard Feynman (1918–1988) merkte op: “Wat er zijn, zijn deeltjes.” Als je er genoeg van observeert, verdelen ze zichzelf zoals je zou verwachten bij een golfverschijnsel. Wat er zijn terwijl ze reizen, kunnen we echter niet zeggen, omdat we, als we proberen te meten, het reizen beïnvloeden.

Sectieoverzicht

• Materie blijkt dezelfde interferentie-eigenschappen te hebben als elke andere golf.
• Er is nu een waarschijnlijkheidsverdeling voor de locatie van een deeltje in plaats van een definitieve positie.
• Een ander gevolg van het golfkarakter van alle deeltjes is het Heisenberg-onzekerheidsprincipe, dat de precisie beperkt waarmee bepaalde fysische grootheden gelijktijdig kunnen worden gekend. Voor positie en momentum is het onzekerheidsprincipe \ Delta { x} \ Delta {p} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, waarbij Δx de onzekerheid in positie is en Δp de onzekerheid in momentum.
• Voor energie en tijd is de onzekerheidsprincipe is \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\ waarbijΔE de onzekerheid in energie is en Δt de onzekerheid in tijd.
• Deze kleine limieten zijn fundamenteel belangrijk op de kwantummechanische schaal.

Verklarende woordenlijst

Heisenbergs onzekerheidsprincipe: een fundamentele limiet voor de precisie waarmee paren van grootheden (momentum en positie, en energie en tijd) kunnen worden gemeten

onzekerheid in energie: gebrek aan precisie of gebrek aan kennis van nauwkeurige resultaten bij energiemetingen

onzekerheid in tijd: gebrek aan precisie of gebrek aan kennis van precieze resultaten in metingen van tijd

onzekerheid in momentum: gebrek aan precisie of gebrek aan kennis van precieze resultaten in metingen van momentum

onzekerheid in positie: gebrek aan precisie of gebrek aan kennis van precieze resultaten bij positiemetingen

kansverdeling: de algehele ruimtelijke verdeling van kansen om een deeltje op een bepaalde locatie te vinden