Deler av en Parabel

Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel, og dens deler gir verdifull informasjon om funksjonen.

Husk at en kvadratisk funksjon har formen

\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c.

der a, b og c er konstanter, og a \ neq 0.

graf for en kvadratisk funksjon er en U-formet kurve som kalles en parabel. Denne formen er vist nedenfor.

Parabolas egenskaper

Paraboler har flere gjenkjennelige funksjoner som karakteriserer formen og plasseringen på det kartesiske planet.

Vertex

Et viktig trekk ved parabolen er at den har et ekstremt punkt, kalt toppunktet. Hvis parabolen åpner seg, representerer toppunktet det laveste punktet på grafen, eller minimumsverdien til den kvadratiske funksjonen. Hvis parabolen åpner seg, representerer toppunktet det høyeste punktet i grafen, eller maksimumsverdien. I begge tilfeller er toppunktet et vendepunkt på grafen.

Symmetriakse

Paraboler har også en symmetriakse, som er parallell med y-aksen. Symmetriaksen er en vertikal linje trukket gjennom toppunktet.

y-skjæringspunkt

Y-skjæringspunktet er det punktet hvor parabolen krysser y-aksen. Det kan ikke være mer enn ett slikt punkt for grafen til en kvadratisk funksjon. Hvis det var, ville ikke kurven være en funksjon, da det ville være to y-verdier for en x-verdi, på null.

x-avlytter

Husk at hvis den kvadratiske funksjonen er satt lik null, er resultatet en kvadratisk ligning. Løsningene til ligningen kalles funksjonens røtter. Dette er de samme røttene som er observerbare som parabollens x-avskjæringer.

En grafisk tolkning av kvadratiske løsninger

Røttene til en kvadratisk funksjon kan bli funnet algebraisk eller grafisk.

Husk hvordan røttene til kvadratisk funksjoner kan bli funnet algebraisk ved hjelp av kvadratformelen (x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}). Røttene til en kvadratisk funksjon kan også bli funnet grafisk ved å gjøre observasjoner om grafen. Dette er to forskjellige metoder som kan brukes til å nå de samme verdiene, og vi vil nå se hvordan de er relatert.

Vurder kvadratiske funksjonen som er tegnet nedenfor. La oss løse for røttene både grafisk og algebraisk.

La oss nå løse røttene til f (x) = x ^ 2 – x- 2 algebraisk med kvadratformelen.

Husk at den kvadratiske ligningen setter det kvadratiske uttrykket lik null i stedet for f (x):

0 = x ^ 2 – x – 2

Erstatning disse verdiene i den kvadratiske formelen:

x = \ dfrac {- (- 1) \ pm \ sqrt {(-1) ^ 2-4 (1) (- 2)}} {2 (1 )}

Forenkling, vi har:

x = \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\

og

x = \ dfrac {1 \ pm 3} {2}

Vi har nå to mulige verdier for x: \ frac {1 + 3} {2} og \ frac {1- 3} {2}.

Eksempel

Finn røttene til den kvadratiske funksjonen f (x) = x ^ 2 – 4x + 4. Løs grafisk og algebraisk.

Ser vi på grafen til funksjonen, merker vi at den ikke krysser x-aksen. Derfor har den ingen virkelige røtter.

Ved å erstatte disse i kvadratformelen har vi:

x = \ dfrac {- (- 4) \ pm \ sqrt {(-4 ) ^ 2-4 (1) (5)}} {2 (1)}

Forenkling, vi har:

x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 -20}} {2} \\ x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {-4}} {2}

Legg merke til at vi har \ sqrt {-4} i formelen, som er ikke et reelt tall. Derfor er det ingen reelle røtter for den gitte kvadratiske funksjonen. Vi har kommet til den samme konklusjonen at vi nådde grafisk.

Tegning av kvadratiske ligninger i hjørneform

Toppunktformen til en kvadratisk funksjon lar toppunktet bli lett å finne.

Kvadratiske ligninger kan ta forskjellige former. Du har allerede sett standardskjemaet:

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + c

En annen vanlig form kalles toppunktform, for når en kvadratisk er skrevet i denne formen, er det veldig enkelt å fortelle hvor toppunktet ligger. Toppunktformen er gitt av:

f (x) = a (xh) ^ 2 + k

Konvertering fra vertexform til standardform

Hvis du ønsker å konvertere en kvadratisk i toppunktform til en i standardform, bare multiplisere kvadratet og kombinere like termer. Kvadratiske

y = (x-2) ^ 2 + 1

kan for eksempel skrives om på følgende måte:

\ begin {align} y & = (x-2) (x-2) +1 \\ & = x ^ 2-2x-2x + 4 + 1 \\ & = x ^ 2-4x + 5 \ end {align}

Konvertering fra standardform til vertexform

Det er vanskeligere å konvertere fra standardform til toppunktform. Prosessen kalles «å fullføre firkanten.»

Konvertering Når a = 1

Så legger vi til og trekker fra dette tallet som følger:

y = ( x ^ 2 + 4x + 4) + 6-4

Konvertering Når en \ neq 1

Det er litt mer komplisert å konvertere standardform til toppunktform når koeffisienten a ikke er lik 1. Vi kan fremdeles bruke teknikken, men må være forsiktige med å først faktorere a som i følgende eksempel:

Vurder y = 2x ^ 2 + 12x + 5. Vi faktoriserer koeffisienten 2 fra de to første begrepene, og skriv dette som:

y = 2 (x ^ 2 + 6x) + 5

y = 2 (x ^ 2 + 6x + 9-9 ) +5

Vi kan deretter fullføre beregningen som følger:

\ begin {align} y & = 2 ((x + 3) ^ 2-9) +5 \\ & = 2 (x + 3) ^ 2-18 + 5 \\ & = (x + 3) ^ 2-13 \ end {align}

Så toppunktet til denne parabolen er (-3, -13).

Tegning av kvadratiske ligninger i standardform

En kvadratisk funksjon er en polynomfunksjon av formen y = ax ^ 2 + bx + c.

En kvadratisk funksjon i formen

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + x

er i standardform.

Uansett format, er grafen til en kvadratisk funksjon en parabel.

Koeffisienter og grafer for kvadratisk funksjon

Hver koeffisient i en kvadratisk funksjon i standardform har innvirkning på formen og plasseringen av funksjonens graf.

Koeffisient på x ^ 2, a

Koeffisienten a styrer hastigheten på økning (eller reduksjon) av kvadratfunksjonen fra toppunktet. En større, positiv a gjør at funksjonen øker raskere og grafen virker tynnere.

Symmetriaksen

x = – \ dfrac {b} {2a}

x = – \ frac {-4} {2 \ cdot 2} = 1

Toppunktet har også x-koordinat 1.

Y-skjæringspunktet til parabolen