の一部放物線
二次関数のグラフは放物線であり、その部分は関数に関する貴重な情報を提供します。
学習目標
部分を説明します放物線の特徴と特徴
重要なポイント
キーポイント
- 2次関数のグラフはU字型です放物線と呼ばれる曲線。
- 二次関数の係数aの符号は、グラフが開くか下がるかに影響します。 a < 0の場合、グラフは眉をひそめます（開きます）。> 0の場合、グラフは笑顔になります（開きます）。 。
- 放物線の極値（最大または最小）は頂点と呼ばれ、対称軸は頂点を通る垂直線です。
- x-切片は、放物線がx軸と交差する点です。それらが存在する場合、x切片は、2次関数の零点または根を表します。
重要な用語
- 頂点：放物線は、二次関数の最小値または最大値に対応して方向を変更します。
- 対称軸：放物線が対称である放物線の頂点を通る垂直線。
- ゼロ：与えられた関数において、y = 0であるxの値は、根とも呼ばれます。
2次関数の形式は次のとおりです。
\ displaystyle f（x）= ax ^ {2} + bx + c。
ここで、a、b、cは定数、a \ neq0です。
二次関数のグラフは、放物線と呼ばれるU字型の曲線です。この形状を以下に示します。
放物線：2次関数のグラフは放物線です。
放物線の方向：係数aの符号によって、放物線の方向が決まります。 。
放物線の特徴
放物線には、デカルト平面上の形状と配置を特徴付けるいくつかの認識可能な特徴があります。
頂点
放物線の重要な特徴の1つは、頂点と呼ばれる極端な点があることです。放物線が開いた場合、頂点はグラフの最低点、つまり2次関数の最小値を表します。放物線が開いた場合、頂点はグラフの最高点、つまり最大値を表します。いずれの場合も、頂点はグラフのターニングポイントです。
対称軸
放物線には、y軸に平行な対称軸もあります。対称軸は、頂点を通る垂直線です。
y切片
y切片は、放物線がy軸と交差する点です。二次関数のグラフの場合、そのような点は複数存在できません。存在する場合、ゼロでは1つのx値に対して2つのy値が存在するため、曲線は関数ではありません。
x切片
可能なx切片：放物線には、x切片、1つのx切片、または2つのx切片を含めることはできません
二次関数がゼロに設定されている場合、結果は二次方程式になることを思い出してください。方程式の解は、関数の根と呼ばれます。これらは、パラボラのx切片として観察できるのと同じ根です。
二次解のグラフィカルな解釈
二次関数の根は、代数的またはグラフィカルに見つけることができます。
学習目的
二次方程式の解を、パラボラがx軸と交差する点として説明します
重要なポイント
キーポイント
- 二次関数の根は、二次方程式を使用して代数的に、またそのパラボラについて観察することによりグラフィカルに見つけることができます。
- 与えられた二次方程式の解または根は、対応する二次関数のグラフのゼロまたはx切片と同じです。
重要な用語
- ゼロ：特定の関数で、y = 0であるxの値（ルートとも呼ばれます。
2次のルートを思い出してください。関数は、二次方程式（x = \ frac {-b \ pm \）を使用して代数的に見つけることができます。 sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}）。二次関数の根は、そのグラフについて観察することによってグラフィカルに見つけることもできます。これらは同じ値に到達するために使用できる2つの異なる方法であり、それらがどのように関連しているかを見ていきます。
以下にグラフ化されている2次関数について考えてみます。グラフィカルと代数式の両方でその根を解きましょう。
次に、2次方程式を使用してf（x）= x ^ 2-x-2の根を代数式で解きます。
二次方程式は、二次方程式をf（x）ではなくゼロに設定することを思い出してください。
0 = x ^ 2-x –2
代入二次方程式のこれらの値：
x = \ dfrac {-（-1）\ pm \ sqrt {（-1）^ 2-4（1）（-2）}} {2（1 ）}
単純化すると、次のようになります。
x = \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\
および
x = \ dfrac {1 \ pm 3} {2}
xには、\ frac {1 + 3} {2}と\ frac {1-の2つの可能な値があります。 3} {2}。
例
二次関数f（x）= x ^ 2- 4x +4の根を見つけます。グラフィカルかつ代数的に解きます。
f（x）= x ^ 2 – 4x +4のグラフ：上記の関数のグラフ、（2、1）でラベル付けされた頂点を使用します。
関数のグラフを見ると、x軸と交差していないことがわかります。したがって、実根はありません。
これらを2次方程式に代入すると、次のようになります。
x = \ dfrac {-（-4）\ pm \ sqrt {（-4 ）^ 2-4（1）（5）}} {2（1）}
単純化すると、次のようになります。
x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 -20}} {2} \\ x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {-4}} {2}
式に\ sqrt {-4}が含まれていることに注意してください。実数ではありません。したがって、与えられた2次関数の実際の根はありません。グラフィカルに到達したのと同じ結論に到達しました。
二次方程式を頂点形式でグラフ化する
二次関数の頂点形式を使用すると、その頂点を簡単に見つけることができます。
重要なポイント
キーポイント
- 二次関数の重要な形式は頂点形式です：f（x）= a（xh）^ 2 + k
- 頂点形式で記述した場合、（h、k）で放物線の頂点を簡単に確認できます。
- 頂点形式から標準形式への変換は簡単です。
- 標準形式から頂点形式に変換することはより困難ですが、それでも可能です。このプロセスには、平方の完成と呼ばれる手法が含まれます。
重要な用語
- 定数：不変値にバインドされる識別子。
- 頂点：曲率の局所的な最小値または最大値を持つ曲線上の点。
- 二次：次数2の多項式。
二次方程式さまざまな形をとることがあります。すでに標準形式を見てきました：
f（x）= a {x} ^ {2} + bx + c
別の一般的な形式は頂点形式と呼ばれます。二次方程式はこの形式で記述されているため、頂点がどこにあるかを簡単に知ることができます。頂点形式は次の式で与えられます。
f（x）= a（xh）^ 2 + k
頂点形式から標準形式への変換
頂点形式の2次式を標準形式の2次式に変換し、2次式を乗算して、同様の項を組み合わせるだけです。たとえば、2次式
y =（x-2）^ 2 + 1
は次のように書き直すことができます。
\ begin {align} y & =（x-2）（x-2）+1 \\ & = x ^ 2-2x-2x + 4 + 1 \\ & = x ^ 2-4x + 5 \ end {align}
標準形式から頂点形式への変換
標準形式から頂点形式への変換はより困難です。このプロセスは「平方の完成」と呼ばれます。
変換a = 1の場合
次に、次のようにこの数値を加算および減算します。
y =（ x ^ 2 + 4x + 4）+ 6-4
変換の場合\ neq 1
係数aがない場合、標準形式を頂点形式に変換するのは少し複雑です。 1に等しい。この手法は引き続き使用できますが、最初に次の例のようにaを因数分解するように注意する必要があります。
y = 2x ^ 2 + 12x +5を検討します。係数を因数分解します。最初の2つの項から2、これを次のように記述します：
y = 2（x ^ 2 + 6x）+ 5
y = 2（x ^ 2 + 6x + 9-9 ）+5
次に、次のように計算を終了できます。
\ begin {align} y & = 2（（x + 3）^ 2-9）+5 \\ & = 2（x + 3）^ 2-18 + 5 \\ & =（x + 3）^ 2-13 \ end {align}
したがって、このパラボラの頂点は（-3、-13）です。
標準形式での2次方程式のグラフ化
2次関数は、y = ax ^ 2 + bx + cの形式の多項式関数です。
キーテイクaways
キーポイント
- 二次関数のグラフは、対称軸がy軸に平行なパラボラです。
- 係数方程式y = ax ^ 2 + bx + cのa、b、およびcは、グラフ化したときにパラボラがどのように見えるかのさまざまな側面を制御します。
重要な用語
- 頂点：二次関数の最大または最小。
- パラボラ：二次関数のグラフによって形成される形状。
- 二次：次数2の多項式。
次の形式の2次関数
f（x）= a {x} ^ {2} + bx + x
は標準形式です。
形式に関係なく、2次関数のグラフはパラボラです。
y = x ^ 2-4x + 3のグラフ：2次方程式のグラフは常にパラボラです。
二次関数の係数とグラフ
標準形式の二次関数の各係数は、関数のグラフの形状と配置に影響を与えます。
x ^ 2の係数、a
係数aは、頂点からの2次関数の増加（または減少）の速度を制御します。 正のaを大きくすると、関数の増加が速くなり、グラフが薄く表示されます。
対称軸
x =-\ dfrac {b} {2a}
x =-\ frac {-4} {2 \ cdot 2} = 1
頂点にもx座標1があります。
y = 2x ^ 2-4x + 4のグラフ：対称軸は、x = 1でy軸に平行な垂直線です。
