Poligono

Un poligono è una forma piana (bidimensionale) con lati dritti. Gli esempi includono triangoli, quadrilateri, pentagoni, esagoni e così via.

Regular

A “Regular Polygon “ha: tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali. Altrimenti è irregolare.

Pentagono regolare Pentagono irregolare

Qui esaminiamo solo i poligoni regolari.

Proprietà

Quindi cosa possiamo sapere su poligoni regolari? Prima di tutto, possiamo calcolare gli angoli.

Angolo esterno L’angolo esterno è l’angolo tra qualsiasi lato di una forma e una linea estesa dal lato successivo.

Tutti gli angoli esterni di un poligono si sommano fino a 360 °, quindi:

Ogni angolo esterno deve essere di 360 ° / n

(dove n è il numero di lati)

Premi il pulsante di riproduzione per vedere.

Angoli interni The Interior Ang le e l’angolo esterno sono misurati dalla stessa linea, quindi la somma è di 180 °.

Angolo interno = 180 ° – Angolo esterno

Conosciamo l’angolo esterno = 360 ° / n, quindi:

Angolo interno = 180 ° – 360 ° / n

E ora per alcuni nomi:

“Circumcircle, Incircle, Radius and Apothem …”

Suona abbastanza musicale se lo ripeti alcune volte, ma sono solo i nomi di “esterno” e “interno “cerchi (e ogni raggio) che possono essere disegnati su un poligono come questo:

Il cerchio “esterno” è chiamato circumcircle e collega tutti i vertici (punti d’angolo) del poligono.

Il raggio del circumcircle è anche il raggio del poligono.

Il cerchio “interno” è chiamato un cerchio e tocca semplicemente ciascun lato del poligono nel suo punto medio.

Il raggio del cerchio è l’apotema del poligono.

(Non tutti i poligoni hanno queste proprietà, ma i triangoli e i poligoni regolari sì).

Rompendo in T riangles

Possiamo imparare molto sui poligoni regolari suddividendoli in triangoli come questo:

Nota che:

• la “base” del triangolo è un lato del poligono.
• l ‘”altezza” del triangolo è l ‘”Apotema” del poligono

Ora, l’area di un triangolo è la metà della base per l’altezza, quindi:

Area di un triangolo = base × altezza / 2 = lato × apotema / 2

Per ottenere l’area dell’intero poligono, somma semplicemente le aree di tutti i triangolini (“n” di essi):

Area del poligono = n × lato × apotema / 2

E poiché il perimetro è composto da tutti i lati = n × lato, otteniamo:

Area del poligono = perimetro × apotema / 2

Un triangolo più piccolo

Tagliando il triangolo a metà otteniamo questo:

( Nota: gli angoli sono in radianti, non in gradi)

Il piccolo triangolo è ad angolo retto e quindi possiamo usare seno, coseno e tangente a fi nd come sono correlati il lato, il raggio, l’apotema e n (numero di lati):

Ci sono molte più relazioni come quelle (la maggior parte di esse solo “riorganizzazioni”), ma quelle andranno bene per adesso.

Altre formule di area

Possiamo usarle per calcolare l’area quando conosciamo solo l’Apotema:

E ci sono 2 di questi triangoli per lato, o 2n per l’intero poligono:

Area del poligono = n × Apothem2 × tan (π / n)

Quando non conosciamo l’Apothem, possiamo usare la stessa formula ma rielaborato per Raggio o per Lato:

Area del poligono = ½ × n × Raggio2 × sin (2 × π / n)

Area del poligono = ¼ × n × Side2 / tan (π / n)

Una tabella di valori

Ed ecco una tabella di Side, Apothem e Area rispetto a un raggio di “1”, usando le formule che abbiamo hanno risolto: