Parti di un Parabola
Il grafico di una funzione quadratica è una parabola e le sue parti forniscono preziose informazioni sulla funzione.
Obiettivi di apprendimento
Descrivi le parti e caratteristiche delle parabole
Punti chiave
Punti chiave
- Il grafico di una funzione quadratica è a forma di U curva chiamata parabola.
- Il segno sul coefficiente a della funzione quadratica influenza se il grafico si apre verso l’alto o verso il basso. Se < 0, il grafico fa un cipiglio (si apre verso il basso) e se > 0 allora il grafico fa un sorriso (si apre ).
- Il punto estremo (massimo o minimo) di una parabola è chiamato vertice e l’asse di simmetria è una linea verticale che passa per il vertice.
- La x- le intercette sono i punti in cui la parabola attraversa l’asse x. Se esistono, le intercette x rappresentano gli zeri, o radici, della funzione quadratica.
Termini chiave
- vertice: il punto in cui un la parabola cambia direzione, corrispondente al valore minimo o massimo della funzione quadratica.
- asse di simmetria: una linea verticale tracciata attraverso il vertice di una parabola attorno alla quale la parabola è simmetrica.
- zeri: in una data funzione, i valori di x a cui y = 0, chiamati anche radici.
Ricorda che una funzione quadratica ha la forma
\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c.
dove a, be c sono costanti e a \ neq 0.
Il il grafico di una funzione quadratica è una curva a forma di U chiamata parabola. Questa forma è mostrata di seguito.
Parabola: il grafico di una funzione quadratica è una parabola.
Direzione delle parabole: il segno sul coefficiente a determina la direzione della parabola .
Caratteristiche delle parabole
Le parabole hanno diverse caratteristiche riconoscibili che ne caratterizzano la forma e il posizionamento sul piano cartesiano.
Vertice
Una caratteristica importante della parabola è che ha un punto estremo, chiamato vertice. Se la parabola si apre, il vertice rappresenta il punto più basso del grafico, o il valore minimo della funzione quadratica. Se la parabola si apre verso il basso, il vertice rappresenta il punto più alto del grafico o il valore massimo. In entrambi i casi, il vertice è un punto di svolta sul grafico.
Asse di simmetria
Anche le parabole hanno un asse di simmetria, che è parallelo all’asse y. L’asse di simmetria è una linea verticale tracciata attraverso il vertice.
Intercetta y
L’intercetta y è il punto in cui la parabola attraversa l’asse y. Non può esserci più di uno di questi punti, per il grafico di una funzione quadratica. Se ci fosse, la curva non sarebbe una funzione, poiché ci sarebbero due valori y per un valore x, a zero.
x-intercetta
Possibili intercettazioni x: una parabola non può avere intercette x, una intercetta x o due intercettazioni x
Ricorda che se la funzione quadratica è impostata uguale a zero, il risultato è un’equazione quadratica. Le soluzioni dell’equazione sono chiamate radici della funzione. Queste sono le stesse radici che sono osservabili come le intercette x della parabola.
Un’interpretazione grafica delle soluzioni quadratiche
Le radici di una funzione quadratica possono essere trovate algebricamente o graficamente.
Obiettivi di apprendimento
Descrivi le soluzioni di un’equazione quadratica come i punti in cui la parabola incrocia l’asse x
Considerazioni chiave
Punti chiave
- Le radici di una funzione quadratica possono essere trovate algebricamente con la formula quadratica e graficamente facendo osservazioni sulla sua parabola.
- Le soluzioni, o radici, di una data equazione quadratica sono le stesse degli zeri, o x-intercette, del grafico della corrispondente funzione quadratica.
Termini chiave
- zeri: in una data funzione, i valori di x a cui y = 0, chiamati anche radici.
Ricorda come le radici di quadratica le funzioni possono essere trovate algebricamente, usando la formula quadratica (x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}). Le radici di una funzione quadratica possono essere trovate anche graficamente facendo osservazioni sul suo grafico. Questi sono due metodi diversi che possono essere utilizzati per raggiungere gli stessi valori e ora vedremo come sono correlati.
Considera la funzione quadratica che è rappresentata graficamente di seguito. Risolviamo le sue radici sia graficamente che algebricamente.
Ora risolviamo le radici di f (x) = x ^ 2 – x- 2 algebricamente con la formula quadratica.
Ricorda che l’equazione quadratica imposta l’espressione quadratica uguale a zero invece di f (x):
0 = x ^ 2 – x – 2
Sostituisci questi valori nella formula quadratica:
x = \ dfrac {- (- 1) \ pm \ sqrt {(-1) ^ 2-4 (1) (- 2)}} {2 (1 )}
Semplificando, abbiamo:
x = \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\
e
x = \ dfrac {1 \ pm 3} {2}
Ora abbiamo due possibili valori per x: \ frac {1 + 3} {2} e \ frac {1- 3} {2}.
Esempio
Trova le radici della funzione quadratica f (x) = x ^ 2 – 4x + 4. Risolvi graficamente e algebricamente.
Il grafico di f (x) = x ^ 2 – 4x + 4 .: Il grafico della funzione precedente , con il vertice etichettato in (2, 1).
Guardando il grafico della funzione, notiamo che non interseca l’asse x. Pertanto, non ha radici reali.
Sostituendole nella formula quadratica, abbiamo:
x = \ dfrac {- (- 4) \ pm \ sqrt {(-4 ) ^ 2-4 (1) (5)}} {2 (1)}
Semplificando, abbiamo:
x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 -20}} {2} \\ x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {-4}} {2}
Notare che abbiamo \ sqrt {-4} nella formula, che è non un numero reale. Pertanto, non ci sono radici reali per la funzione quadratica data. Siamo arrivati alla stessa conclusione a cui siamo giunti graficamente.
Rappresentazione grafica di equazioni quadratiche in forma di vertice
La forma di vertice di una funzione quadratica consente di trovare facilmente il suo vertice.
Conclusioni chiave
Punti chiave
- Una forma importante di una funzione quadratica è la forma del vertice: f (x) = a (xh) ^ 2 + k
- Quando scritto in forma di vertice, è facile vedere il vertice della parabola in (h, k).
- È facile convertire dalla forma di vertice alla forma standard.
- È più difficile, ma ancora possibile, convertire dalla forma standard alla forma dei vertici. Il processo implica una tecnica chiamata completamento del quadrato.
Termini chiave
- costante: un identificatore che è associato a un valore invariante.
- vertice: un punto sulla curva con un minimo o un massimo di curvatura locale.
- quadratico: un polinomio di grado due.
Equazioni quadratiche può assumere varie forme. Hai già visto la forma standard:
f (x) = a {x} ^ {2} + bx + c
Un’altra forma comune è chiamata forma di vertice, perché quando a quadratico è scritto in questa forma, è molto facile dire dove si trova il suo vertice. La forma del vertice è data da:
f (x) = a (xh) ^ 2 + k
Conversione dalla forma del vertice alla forma standard
Se si desidera convertire un quadratico in forma di vertice in uno in forma standard, è sufficiente moltiplicare il quadrato e combinare termini simili. Ad esempio, il quadratico
y = (x-2) ^ 2 + 1
può essere riscritto come segue:
\ begin {align} y & = (x-2) (x-2) +1 \\ & = x ^ 2-2x-2x + 4 + 1 \\ & = x ^ 2-4x + 5 \ end {align}
Conversione da forma standard a forma vertice
È più difficile da convertire dalla forma standard alla forma dei vertici. Il processo è chiamato “completamento del quadrato”.
Conversione quando a = 1
Quindi sommiamo e sottraiamo questo numero come segue:
y = ( x ^ 2 + 4x + 4) + 6-4
Conversione quando a \ neq 1
È leggermente più complicato convertire la forma standard in forma di vertice quando il coefficiente a non è uguale a 1. Possiamo ancora usare la tecnica, ma dobbiamo stare attenti a scomporre prima la a come nell’esempio seguente:
Consideriamo y = 2x ^ 2 + 12x + 5. Noi fattorizziamo il coefficiente 2 dai primi due termini, scrivendolo come:
y = 2 (x ^ 2 + 6x) + 5
y = 2 (x ^ 2 + 6x + 9-9 ) +5
Possiamo quindi terminare il calcolo come segue:
\ begin {align} y & = 2 ((x + 3) ^ 2-9) +5 \\ & = 2 (x + 3) ^ 2-18 + 5 \\ & = (x + 3) ^ 2-13 \ end {align}
Quindi il vertice di questa parabola è (-3, -13).
Rappresentazione grafica di equazioni quadratiche in forma standard
Una funzione quadratica è una funzione polinomiale della forma y = ax ^ 2 + bx + c.
Key Take aways
Punti chiave
- Il grafico di una funzione quadratica è una parabola il cui asse di simmetria è parallelo all’asse y.
- I coefficienti a, b e c nell’equazione y = ax ^ 2 + bx + c controllano vari aspetti dell’aspetto della parabola quando viene rappresentata graficamente.
Termini chiave
- vertice: il massimo o il minimo di una funzione quadratica.
- parabola: la forma formata dal grafico di una funzione quadratica.
- quadratica: un polinomio di grado due.
Una funzione quadratica nella forma
f (x) = a {x} ^ {2} + bx + x
è in forma standard.
Indipendentemente dal formato, il grafico di una funzione quadratica è una parabola.
Il grafico di y = x ^ 2-4x + 3: Il grafico di qualsiasi equazione quadratica è sempre una parabola.
Coefficienti e grafici della funzione quadratica
Ogni coefficiente in una funzione quadratica in forma standard ha un impatto sulla forma e sul posizionamento del grafico della funzione.
Coefficiente di x ^ 2, a
Il coefficiente a controlla la velocità di aumento (o diminuzione) della funzione quadratica dal vertice. Una a positiva più grande fa aumentare la funzione più velocemente e il grafico appare più sottile.
L’asse della simmetria
x = – \ dfrac {b} {2a}
x = – \ frac {-4} {2 \ cdot 2} = 1
Il vertice ha anche la coordinata x 1.
Il grafico di y = 2x ^ 2-4x + 4 .: L’asse di simmetria è una linea verticale parallela all’asse y in x = 1.
