A Parabola

A másodfokú függvény grafikonja egy parabola, és részei értékes információkat nyújtanak a funkcióról.

Emlékezzünk vissza arra, hogy a másodfokú függvény formája

\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c.

ahol a, b és c konstansok, és a \ neq 0.

A a másodfokú függvény grafikonja egy U alakú görbe, amelyet parabolának hívnak. Ezt az alakzatot az alábbiakban mutatjuk be.

A Parabolák jellemzői

A Parabolák számos felismerhető tulajdonsággal rendelkeznek, amelyek jellemzik alakjukat és elhelyezkedésüket a derékszögű síkon.

Csúcs

A parabola egyik fontos jellemzője, hogy van egy szélső pontja, az úgynevezett csúcs. Ha a parabola megnyílik, a csúcs a grafikon legalacsonyabb pontját, vagy a másodfokú függvény legkisebb értékét jelenti. Ha a parabola megnyílik, a csúcs a grafikon legmagasabb pontját, vagy a maximális értéket képviseli. Mindkét esetben a csúcs fordulópont a grafikonon.

A szimmetria tengelye

A paraboláknak van egy olyan szimmetriatengelyük is, amely párhuzamos az y tengellyel. A szimmetriatengely egy függőleges vonal, amelyet a csúcson keresztül húznak.

y-metszés

Az y-metszés az a pont, ahol a parabola keresztezi az y-tengelyt. Egy másodfokú függvény grafikonjánál nem lehet több ilyen pont. Ha lenne, akkor a görbe nem lenne függvény, mivel egy x értékhez két y érték lenne nullán.

x-metszet

Emlékezzünk arra, hogy ha a másodfokú függvényt nullára állítjuk, akkor az eredmény másodfokú egyenlet lesz. Az egyenlet megoldásait a függvény gyökerének nevezzük. Ezek ugyanazok a gyökerek, amelyek megfigyelhetők, mint a parabola x metszéspontjai.

A másodfokú megoldások grafikus értelmezése

A másodfokú függvény gyökerei megtalálhatók algebrailag vagy grafikusan.

Emlékezzünk vissza arra, hogy a másodfok gyökei A függvények algebrailag megtalálhatók a másodfokú képlet segítségével (x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}). A másodfokú függvény gyökerei grafikusan is megtalálhatók, ha megfigyeljük a gráfját. Ez két különböző módszer, amelyekkel ugyanazok az értékek érhetők el, és most megnézzük, hogyan kapcsolódnak egymáshoz.

Vizsgáljuk meg az alább ábrázolt másodfokú függvényt. Oldjuk meg a gyökereit grafikusan és algebrai szempontból egyaránt.

Most oldjuk meg az f (x) = x ^ 2 – x- 2 gyökereire algebraikusan a másodfokú képletet.

Emlékezzünk vissza arra, hogy a másodfokú egyenlet a másodfokú kifejezést nullával állítja be f (x) helyett:

0 = x ^ 2 – x – 2

Helyettesítő ezek az értékek a másodfokú képletben:

x = \ dfrac {- (- 1) \ pm \ sqrt {(-1) ^ 2-4 (1) (- 2)}} {2 (1 )}

Egyszerűsítve:

x = \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\

és

x = \ dfrac {1 \ pm 3} {2}

Az x-nek most két lehetséges értéke van: \ frac {1 + 3} {2} és \ frac {1- 3} {2}.

Példa

Keresse meg az f (x) = x ^ 2 – 4x + 4 másodfokú függvény gyökereit. Oldja meg grafikusan és algebraikusan.

A függvény grafikonját nézve észrevehetjük, hogy nem metszik az x tengelyt. Ezért nincsenek valódi gyökerei.

Helyettesítve ezeket a másodfokú képletbe, megvan:

x = \ dfrac {- (- 4) \ pm \ sqrt {(-4 ) ^ 2-4 (1) (5)}} {2 (1)}

Egyszerűsítve:

x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 -20}} {2} \\ x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {-4}} {2}

Figyelje meg, hogy a képletben \ sqrt {-4} szerepel, ami: nem valós szám. Ezért nincsenek valódi gyökerei az adott másodfokú függvénynek. Ugyanarra a következtetésre jutottunk, amelyet grafikusan is elértünk.

Másodfokú egyenletek ábrázolása csúcsformában

A másodfokú függvény csúcsformája lehetővé teszi annak csúcsának könnyű megtalálását.

Másodfokú egyenletek különböző formákat ölthet. Már látta a szokásos űrlapot:

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + c

Egy másik gyakori űrlapot csúcsformának hívunk, mert amikor kvadratikus ebben a formában van megírva, nagyon könnyű megmondani, hol található a csúcsa. A csúcsformát a következők adják:

f (x) = a (xh) ^ 2 + k

Átalakítás a csúcs űrlapról standard űrlaphoz

Ha a csúcs formájú másodfokot standard formává kívánja konvertálni, egyszerűen szorozza ki a négyzetet, és vegye össze a hasonló kifejezéseket. Például a másodfokú

y = (x-2) ^ 2 + 1

Az alábbiak szerint írható át:

\ begin {align} y & = (x-2) (x-2) +1 \\ & = x ^ 2-2x-2x + 4 + 1 \\ & = x ^ 2-4x + 5 \ end {align}

Átalakítás normál űrlapból csúcs űrlaphoz

Ez az nehezebb átalakítani a standard formáról a csúcs formára. A folyamat neve “a négyzet kitöltése”.

Átalakítás, amikor a = 1

Ezután mindkettőt hozzáadjuk és kivonjuk a következő módon:

y = ( x ^ 2 + 4x + 4) + 6-4

Átalakítás, ha a \ neq 1

Kicsit bonyolultabb a standard űrlapot csúcsformává konvertálni, ha az a együttható nem egyenlő 1-vel. A technikát továbbra is használhatjuk, de vigyáznunk kell, hogy először kiszámoljuk az a-t, mint a következő példában:

Tekintsük az y = 2x ^ 2 + 12x + 5 értéket. 2 az első két kifejezésből, ezt így írva:

y = 2 (x ^ 2 + 6x) + 5

y = 2 (x ^ 2 + 6x + 9-9 ) +5

Ezután a következőképpen fejezhetjük be a számítást:

\ begin {align} y & = 2 ((x + 3) ^ 2-9) +5 \\ & = 2 (x + 3) ^ 2-18 + 5 \\ & = (x + 3) ^ 2-13 \ end {align}

Ennek a parabolának a csúcsa tehát (-3, -13).

Másodlagos egyenletek ábrázolása standard formában

A másodfokú függvény az y = ax ^ 2 + bx + c alakú polinomfüggvény.

Másodfokú függvény formában

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + x

szabványos formában van.

A formátumtól függetlenül a másodfokú függvény grafikonja parabola.

Másodfokú függvény együtthatói és grafikonjai

A másodfokú függvény minden egyes együtthatója standard formában hatással van a függvény grafikonjának alakjára és elhelyezésére.

x ^ 2 együttható, a

Az a együttható vezérli a másodfokú függvény növekedésének (vagy csökkenésének) sebességét a csúcstól. Egy nagyobb, pozitív a gyorsabbá teszi a függvény növekedését és a grafikon vékonyabbá válását.

A szimmetria tengelye

x = – \ dfrac {b} {2a}

x = – \ frac {-4} {2 \ cdot 2} = 1

A csúcsnak is van X koordinátája.

A Parabola y-metszete