Distribution des probabilités

Matière et les photons sont des ondes, ce qui implique qu’ils sont répartis sur une certaine distance. Quelle est la position d’une particule, comme un électron? Est-ce au centre de la vague? La réponse réside dans la façon dont vous mesurez la position d’un électron. Les expériences montrent que vous trouverez l’électron à un endroit précis, contrairement à une onde. Mais si vous configurez exactement la même situation et que vous la mesurez à nouveau, vous trouverez l’électron à un endroit différent, souvent loin de toute incertitude expérimentale dans votre mesure. Des mesures répétées afficheront une distribution statistique des emplacements qui ressemblent à des ondes. (Voir Figure 1.)

Après que de Broglie ait proposé la nature ondulatoire de la matière, de nombreux physiciens, dont Schrödinger et Heisenberg, ont exploré les conséquences. L’idée est rapidement apparue que, en raison de son caractère ondulatoire, la trajectoire et la destination d’une particule ne peuvent pas être prédites avec précision pour chaque particule individuellement. Cependant, chaque particule va à un endroit défini (comme illustré sur la figure 1). Après avoir compilé suffisamment de données, vous obtenez une distribution liée à la longueur d’onde de la particule et au motif de diffraction. Il y a une certaine probabilité de trouver la particule à un endroit donné, et le modèle global est appelé une distribution de probabilité. Ceux qui ont développé la mécanique quantique ont conçu des équations qui prédisaient la distribution de probabilité dans diverses circonstances.

Il est quelque peu inquiétant de penser que vous ne pouvez pas prédire exactement où une particule individuelle ira, ni même la suivre jusqu’à sa destination. Explorons ce qui se passe si nous essayons de suivre une particule. Considérons les modèles à double fente obtenus pour les électrons et les photons dans la figure 2. Premièrement, nous notons que ces modèles sont identiques, après d sin θ = mλ, l’équation de l’interférence constructive à double fente développée dans Photon Energies et le spectre électromagnétique, où d est la séparation des fentes et λ est la longueur d’onde de l’électron ou du photon.

Les deux modèles se construisent statistiquement lorsque des particules individuelles tombent sur le détecteur. Cela peut être observé pour les photons ou les électrons – pour l’instant, concentrons-nous sur les électrons. Vous pourriez imaginer que les électrons interfèrent les uns avec les autres comme le font toutes les ondes. Pour tester cela, vous pouvez baisser l’intensité jusqu’à ce qu’il n’y ait jamais plus d’un électron entre les fentes et l’écran. Le même schéma d’interférence se forme! Cela implique que la distribution de probabilité d’une particule couvre les deux fentes et que les particules interfèrent en fait avec elles-mêmes. Cela signifie-t-il également que l’électron passe par les deux fentes? Un électron est une unité de base de la matière qui n’est pas divisible. Mais c’est une bonne question, et nous devrions donc chercher à voir si l’électron traverse une fente ou l’autre, ou les deux. Une possibilité est d’avoir des bobines autour des fentes qui détectent les charges qui les traversent. Ce que l’on observe, c’est qu’un électron passe toujours par une fente ou une autre; il ne se sépare pas pour passer par les deux. Mais il ya un hic. Si vous déterminez que l’électron a traversé l’une des fentes, vous n’obtenez plus un motif à double fente – à la place, vous obtenez une interférence à une seule fente. Il n’y a pas d’échappatoire en utilisant une autre méthode pour déterminer la fente traversée par l’électron. Le fait de savoir que la particule a traversé une fente force un motif à une seule fente. Si vous n’observez pas par quelle fente l’électron passe, vous obtenez un motif à double fente.

Incertitude de Heisenberg

Comment savoir par quelle fente l’électron est passé change-t-il le schéma? La réponse est d’une importance fondamentale: la mesure affecte le système observé. Des informations peuvent être perdues et, dans certains cas, il est impossible de mesurer simultanément deux grandeurs physiques avec une précision exacte. Par exemple, vous pouvez mesurer la position d’un électron en mouvement en diffusant de la lumière ou d’autres électrons.Ces sondes ont elles-mêmes une impulsion et, en se dispersant à partir de l’électron, elles modifient son élan d’une manière qui perd des informations. Il y a une limite à la connaissance absolue, même en principe.

C’est Werner Heisenberg qui a le premier énoncé cette limite à la connaissance en 1929 à la suite de ses travaux sur la mécanique quantique et les caractéristiques d’onde de toutes les particules . (Voir la figure 3). Plus précisément, envisagez de mesurer simultanément la position et le moment d’un électron (il peut s’agir de n’importe quelle particule). Il existe une incertitude de position Δx qui est approximativement égale à la longueur d’onde de la particule. Autrement dit, Δx ≈ λ.

Comme indiqué ci-dessus, une onde n’est pas située en un point dans l’espace. Si la position de l’électron est mesurée de manière répétée, une dispersion des emplacements sera observée, ce qui implique une incertitude de la position Δx. Pour détecter la position de la particule, nous devons interagir avec elle, comme la faire entrer en collision avec un détecteur. Lors de la collision, la particule perdra de son élan. Ce changement de moment pourrait être n’importe où entre presque zéro et le moment total de la particule, p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Il n’est pas possible de dire quelle quantité d’impulsion sera transférée à un détecteur, et il y a donc également une incertitude dans l’impulsion Δp. En fait, l’incertitude de l’élan peut être aussi grande que l’élan lui-même, ce qui, sous forme d’équation, signifie que \ Delta {p} \ approx \ frac {h} {\ lambda} \\.

L’incertitude en position peut être réduite en utilisant un électron de plus courte longueur d’onde, puisque Δx ≈ λ. Mais raccourcir la longueur d’onde augmente l’incertitude de l’élan, puisque p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Inversement, l’incertitude de momentum peut être réduite en utilisant un électron de plus grande longueur d’onde, mais cela augmente l’incertitude de position. Mathématiquement, vous pouvez exprimer ce compromis en multipliant les incertitudes. La longueur d’onde s’annule, laissant ΔxΔp ≈ h.

Donc, si une incertitude est réduite, l’autre doit augmenter pour que leur produit soit ≈h.

Ceci est connu comme le principe d’incertitude de Heisenberg . Il est impossible de mesurer la position x et l’impulsion p simultanément avec des incertitudes Δx et Δp qui se multiplient pour être inférieures à \ frac {h} {4 \ pi} \\. Aucune des deux incertitudes ne peut être nulle. Aucune des deux incertitudes ne peut devenir petite sans que l’autre devienne grande. Une petite longueur d’onde permet une mesure précise de la position, mais elle augmente l’élan de la sonde au point de perturber davantage l’élan d’un système mesuré. Par exemple, si un électron est diffusé à partir d’un atome et a une longueur d’onde suffisamment petite pour détecter la position des électrons dans l’atome, son élan peut chasser les électrons de leurs orbites d’une manière qui perd des informations sur leur mouvement d’origine. Il est donc impossible de suivre un électron sur son orbite autour d’un atome. Si vous mesurez la position de l’électron, vous le trouverez à un emplacement défini, mais l’atome sera perturbé. Des mesures répétées sur des atomes identiques produiront des distributions de probabilité intéressantes pour les électrons autour de l’atome, mais elles ne produiront pas d’informations de mouvement. Les distributions de probabilité sont appelées nuages d’électrons ou orbitales. Les formes de ces orbitales sont souvent montrées dans des textes de chimie générale et sont discutées dans La nature ondulatoire de la matière cause quantification.

Pourquoi ne remarquons-nous pas le principe d’incertitude de Heisenberg dans la vie quotidienne? La réponse est que la constante de Planck est très petite. Ainsi, la limite inférieure de l’incertitude de mesure de la position et de l’impulsion de grands objets est négligeable. Nous pouvons détecter la lumière du soleil réfléchie par Jupiter et suivre la planète sur son orbite autour du Soleil. La lumière du soleil réfléchie modifie l’élan de Jupiter et crée une incertitude dans son élan, mais c’est totalement négligeable par rapport à l’énorme élan de Jupiter. Le principe de correspondance nous dit que les prédictions de la mécanique quantique deviennent indiscernables de la physique classique pour les grands objets, ce qui est le cas ici.

Incertitude de Heisenberg pour l’énergie et le temps

Il existe une autre forme du principe d’incertitude de Heisenberg pour les mesures simultanées d’énergie et de temps. Sous forme d’équation, \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, où ΔE est l’incertitude en énergie et Δt est l’incertitude en temps.Cela signifie que dans un intervalle de temps Δt, il n’est pas possible de mesurer l’énergie avec précision – il y aura une incertitude ΔE dans la mesure. Afin de mesurer l’énergie plus précisément (pour rendre ΔE plus petit), il faut augmenter Δt. Cet intervalle de temps peut être le temps que nous prenons pour effectuer la mesure, ou il peut s’agir du temps pendant lequel un état particulier existe, comme dans l’exemple suivant 2.

Le principe d’incertitude pour l’énergie et le temps peut être d’une grande importance si la durée de vie d’un système est très courte. Alors Δt est très petit, et ΔE est par conséquent très grand. Certains noyaux et particules exotiques ont des durées de vie extrêmement courtes (aussi petites que 10 à 25 s), ce qui entraîne des incertitudes d’énergie pouvant atteindre plusieurs GeV (109 eV). L’énergie stockée apparaît comme une masse de repos accrue, ce qui signifie qu’il existe une incertitude significative dans la masse de repos des particules à vie courte. Lorsqu’il est mesuré à plusieurs reprises, une dispersion des masses ou des énergies de désintégration est obtenue. Le spread est ΔE. Vous pourriez vous demander si cette incertitude énergétique pourrait être évitée en ne mesurant pas la durée de vie. La réponse est non. La nature connaît la durée de vie, et donc sa brièveté affecte l’énergie de la particule. Ceci est si bien établi expérimentalement que l’incertitude de l’énergie de désintégration est utilisée pour calculer la durée de vie des états de courte durée. Certains noyaux et particules ont une durée de vie si courte qu’il est difficile de mesurer leur durée de vie. Mais si leur énergie de désintégration peut être mesurée, sa propagation est ΔE, et ceci est utilisé dans le principe d’incertitude \ left (\ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \ right) \\ pour calculer la durée de vie Δt.

Il y a une autre conséquence du principe d’incertitude pour l’énergie et le temps. Si l’énergie est incertaine par ΔE, alors la conservation de l’énergie peut être violée par ΔE pendant un temps Δt. Ni le physicien ni la nature ne peuvent dire que la conservation de l’énergie a été violée, si la violation est temporaire et inférieure à l’incertitude de l’énergie. Bien que cela semble assez anodin, nous verrons dans les chapitres suivants que cela permet la création temporaire de matière à partir de rien et a des implications sur la façon dont la nature transmet les forces sur de très petites distances.

Enfin, notez que dans la discussion de particules et ondes, nous avons déclaré que les mesures individuelles produisent des résultats précis ou semblables à des particules. Une position définie est déterminée à chaque fois que nous observons un électron, par exemple. Mais des mesures répétées produisent une dispersion des valeurs cohérente avec les caractéristiques des vagues. Le grand physicien théoricien Richard Feynman (1918-1988) a commenté: « Ce qu’il y a, ce sont des particules. » Lorsque vous en observez suffisamment, ils se répartissent comme vous vous en doutez pour un phénomène de vague. Cependant, nous ne pouvons pas le dire car, lorsque nous essayons de mesurer, nous affectons le déplacement.

Résumé de la section

• La matière présente les mêmes caractéristiques d’interférence que n’importe quelle autre onde.
• Il existe maintenant une distribution de probabilité pour l’emplacement d’une particule plutôt qu’une position.
• Une autre conséquence du caractère ondulatoire de toutes les particules est le principe d’incertitude de Heisenberg, qui limite la précision avec laquelle certaines grandeurs physiques peuvent être connues simultanément. Pour la position et l’impulsion, le principe d’incertitude est \ Delta { x} \ Delta {p} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, où Δx est l’incertitude de position et Δp est l’incertitude de momentum.
• Pour l’énergie et le temps, le Le principe d’incertitude est \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\ oùΔE est l’incertitude de l’énergie etΔt est l’incertitude du temps.
• Ces petites limites sont fondamentalement importantes à l’échelle de la mécanique quantique.

Glossaire

Principe d’incertitude de Heisenberg: une limite fondamentale à la précision avec laquelle les paires de grandeurs (momentum et la position, l’énergie et le temps) peuvent être mesurés

incertitude de l’énergie: manque de précision ou manque de connaissance des résultats précis des mesures d’énergie

incertitude dans le temps: manque de précision ou manque de connaissance de résultats précis dans les mesures de temps

incertitude de moment: manque de précision ou manque de connaissance de résultats précis dans les mesures de quantité de mouvement

incertitude de position: manque de précision ou manque de connaissance des résultats précis des mesures de position

distribution de probabilité: la distribution spatiale globale des probabilités pour trouver une particule à un endroit donné