Mutuellement exclusifs: ne peut pas se produire en même temps.
Exemples:
- Tourner à gauche et tourner à droite sont mutuellement exclusifs (vous ne pouvez pas faire les deux en même temps)
- Lancer une pièce: les têtes et les queues sont mutuellement exclusives
- Cartes: les rois et les as sont mutuellement exclusifs
Ce qui n’est pas mutuellement exclusif:
- Il peut arriver que vous tourniez à gauche et vous grattiez la tête en même temps
- Rois et cœurs, car nous pouvons avoir un roi de cœur!
Comme ici:
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| Les as et les rois s’excluent mutuellement (ne peuvent pas être les deux) |
Les cœurs et les rois ne s’excluent pas mutuellement (peuvent être les deux) |
Probabilité
Allons chercher k aux probabilités d’événements mutuellement exclusifs. Mais d’abord, une définition:
Probabilité qu’un événement se produise = Nombre de façons dont cela peut se produire Nombre total de résultats
Exemple: il y en a 4 Rois dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité de choisir un roi?
Nombre de façons dont cela peut arriver: 4 (il y a 4 rois)
Nombre total de résultats: 52 (il y a 52 cartes au total )
Donc, la probabilité = 452 = 113
s’excluant mutuellement
Lorsque deux événements (appelez-les « A » et « B ») sont Exclusif mutuellement, il est impossible qu’ils se produisent ensemble:
P (A et B) = 0
« La probabilité de A et B ensemble est égale à 0 (impossible) »
Exemple: Roi ET Reine
Une carte ne peut pas être un Roi ET une Reine en même temps!
- La probabilité d’un Roi et d’un La reine est 0 (impossible)
Mais, pour les événements mutuellement exclusifs, la probabilité de A ou B est la somme des probabilités individuelles:
P (A ou B) = P (A) + P (B)
« La probabilité de A ou B est égale à la probabilité de A plus la probabilité de B »
Donc, nous ont:
- P (Roi et Reine) = 0
- P (Roi ou Reine) = (1/13) + (1/13) = 2/13
Notation spéciale
Au lieu de « et », vous verrez souvent le symbole ∩ (qui est le symbole « Intersection » utilisé dans les diagrammes de Venn)
Au lieu de « ou », vous verrez souvent le symbole ∪ (le symbole « Union »)
On peut donc aussi écrire:
- P (King ∩ Queen) = 0
- P (King ∪ Queen) = (1/13) + (1/13) = 2/13
Souvenir
Pour vous aider à vous souvenir, pensez:
« Ou a plus … que Et »
Aussi ∪ est comme une tasse qui en contient plus de ∩
Non mutuellement exclusifs
Voyons maintenant ce qui se passe lorsque les événements ne sont pas mutuellement exclusifs.
Exemple: Cœurs et rois
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Coeurs et rois ensemble n’est que le roi des coeurs: |
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Mais Hearts or Kings est:
- tout le Coeurs (13 d’entre eux )
- tous les rois (4 d’entre eux)
Mais cela compte deux fois le roi de cœur!
Nous corrigeons donc notre réponse, en soustrayant les parties « et » supplémentaires:
16 cartes = 13 coeurs + 4 rois – le 1 roi de coeurs supplémentaire
Comptez-les pour vous assurer que cela fonctionne!
En tant que formule, voici:
P ( A ou B) = P (A) + P (B) – P (A et B)
« La probabilité de A ou B est égale à la probabilité de A plus la probabilité de B
moins la probabilité de A et B «
Voici la même formule, mais en utilisant ∪ et ∩:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
Un dernier exemple
16 personnes étudient le français, 21 étudient l’espagnol et il y en a 30 en tout. Déterminez les probabilités!
Il s’agit certainement d’un cas de non-exclusivité mutuelle (vous pouvez étudier le français ET l’espagnol).
Disons que b est le nombre d’étudier les deux langues:
- les personnes qui étudient le français uniquement doivent avoir 16 ans
- les personnes qui étudient l’espagnol uniquement doivent avoir 21 ans
Et nous obtenons:
Et nous savons qu’il y a 30 personnes, donc:
Et nous pouvons mettre les bons nombres :
Nous savons donc tout cela maintenant:
- P (français) = 16 / 30
- P (espagnol) = 21/30
- P (français uniquement) = 9/30
- P (Espagnol uniquement) = 14/30
- P (français ou espagnol) = 30/30 = 1
- P (français et espagnol) = 7/30
Enfin, vérifions notre formule:
P (A ou B) = P (A) + P (B) – P (A et B )
Mettez les valeurs dans:
