Todennäköisyysjakauma

Aine ja fotonit ovat aaltoja, mikä tarkoittaa, että ne ovat levinneet tietylle etäisyydelle. Mikä on hiukkasen, kuten elektronin, sijainti? Onko se aallon keskellä? Vastaus on siinä, miten mitataan elektronin sijainti. Kokeet osoittavat, että löydät elektronin jostakin tietystä sijainnista, toisin kuin aalto. Mutta jos asetat täsmälleen saman tilanteen ja mitat sen uudelleen, löydät elektronin eri sijainnista, usein kaukana mittauksen kokeellisesta epävarmuudesta. Toistetut mittaukset näyttävät tilastollisen jakauman paikoista, jotka näyttävät aaltomaisilta. (Katso kuva 1.)

Sen jälkeen, kun de Broglie ehdotti aineen aaltoluokkaa, monet fyysikot, mukaan lukien Schrödinger ja Heisenberg tutkivat seurauksia. Ajatus tuli nopeasti esiin, että aaltomuodonsa vuoksi hiukkasen liikerataa ja määränpäätä ei voida ennustaa tarkasti kullekin hiukkaselle erikseen. Jokainen hiukkanen menee kuitenkin tiettyyn paikkaan (kuten kuvassa 1 on esitetty). Kun olet koonnut riittävästi tietoa, saat jakauman, joka liittyy hiukkasen aallonpituuteen ja diffraktiokuvioon. On tietty todennäköisyys löytää hiukkanen tietystä sijainnista, ja kokonaiskuviota kutsutaan todennäköisyysjakaumaksi. Kvanttimekaniikan kehittäjät suunnittelivat yhtälöitä, jotka ennustivat todennäköisyysjakauman eri olosuhteissa.

On jonkin verran huolestuttavaa ajatella, ettet voi ennustaa tarkalleen, mihin yksittäinen hiukkanen menee, tai edes seurata sitä määränpäähänsä. Tutkitaan, mitä tapahtuu, jos yritämme seurata hiukkasia. Harkitse kuvion 2 elektronille ja fotoneille saatuja kaksoisviilikuvioita. Ensinnäkin, huomataan, että nämä kuviot ovat identtisiä, kun d sin θ = mλ on yhtälö kaksirakoisille rakenteellisille häiriöille, jotka on kehitetty fotonienergioissa ja sähkömagneettisessa spektrissä, missä d on rakoerotus ja λ on elektronin tai fotonin aallonpituus.

Molemmat mallit rakentuvat tilastollisesti, kun yksittäiset hiukkaset putoavat ilmaisin. Tämä voidaan havaita fotonien tai elektronien kohdalla – nyt keskittykäämme elektroneihin. Voit kuvitella, että elektronit häiritsevät toisiaan kuten kaikki aallot. Tämän testaamiseksi voit alentaa intensiteettiä, kunnes rakojen ja näytön välillä ei ole koskaan enemmän kuin yksi elektroni. Sama häiriökuvio muodostuu! Tämä tarkoittaa, että hiukkasen todennäköisyysjakauma ulottuu molempiin rakoihin, ja hiukkaset itse asiassa häiritsevät itseään. Tarkoittaako tämä myös sitä, että elektroni kulkee molempien rakojen läpi? Elektroni on aineen perusyksikkö, joka ei ole jaettavissa. Mutta se on oikeudenmukainen kysymys, ja siksi meidän pitäisi katsoa, kulkeeekö elektroni yhden tai toisen rakon vai molempien välillä. Yksi mahdollisuus on rakojen ympärillä kelat, jotka havaitsevat niiden läpi liikkuvat varaukset. Havaitaan, että elektroni kulkee aina yhden tai toisen rakon läpi; se ei jakaudu käymään läpi molemmat. Mutta on saalis. Jos päätät, että elektroni kävi läpi yhden rakoista, et enää saa kaksinkertaista rakoa – sen sijaan saat yhden rakon häiriötä. Ei ole paeta käyttämällä toista menetelmää sen määrittämiseksi, mikä rako elektroni kävi läpi. Tietäen, että hiukkanen kävi läpi yhden raon, pakotetaan yhden raon kuvio. Jos et havaitse, minkä aukon elektroni kulkee, saat kaksoisrakoisen mallin.

Heisenbergin epävarmuus

Kuinka tiedetään, mikä rako kulkee läpi elektronin, muuttaa kuviota? Vastaus on pohjimmiltaan tärkeä – mittaus vaikuttaa havaittavaan järjestelmään. Tiedot voivat kadota, ja joissakin tapauksissa on mahdotonta mitata kahta fyysistä määrää samanaikaisesti tarkkuuteen. Voit esimerkiksi mitata liikkuvan elektronin sijainnin sirottamalla siitä valoa tai muita elektroneja.Noilla koettimilla on itsessään vauhti, ja sirottamalla elektronista he muuttavat sen liikemäärää tavalla, joka menettää tietoa. Absoluuttisella tiedolla on raja, jopa periaatteessa.

Werner Heisenberg ilmoitti ensimmäisen kerran tämän tiedonrajoituksen vuonna 1929 kvanttimekaniikkaa koskevan työnsä ja kaikkien hiukkasten aalto-ominaisuuksien ansiosta. . (Katso kuva 3). Harkitse erityisesti mitata samanaikaisesti elektronin sijainti ja liikemäärä (se voi olla mikä tahansa hiukkanen). Asennossa Ax on epävarmuus, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin hiukkasen aallonpituus. Toisin sanoen Δx ≈ λ.

Kuten edellä on mainittu, aalto ei sijaitse yhdessä avaruuspisteessä. Jos elektronin sijainti mitataan toistuvasti, havaitaan leviäminen paikoissa, mikä tarkoittaa epävarmuutta asemassa Δx. Hiukkasen sijainnin havaitsemiseksi meidän on oltava vuorovaikutuksessa sen kanssa, esimerkiksi sen, että se törmää detektoriin. Törmäyksessä hiukkanen menettää vauhtia. Tämä muutos vauhdissa voi olla missä tahansa lähellä nollaa hiukkasen kokonaismomenttiin p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Ei ole mahdollista kertoa, kuinka paljon liikettä siirretään ilmaisimelle, joten myös impulssissa Δp on epävarmuutta. Itse asiassa impulssin epävarmuus voi olla yhtä suuri kuin itse impulssi, mikä yhtälömuodossa tarkoittaa, että \ Delta {p} \ approx \ frac {h} {\ lambda} \\.

Epävarmuus asennossa voidaan pienentää käyttämällä lyhyemmän aallonpituuden elektronia, koska Δx ≈ λ. Mutta aallonpituuden lyhentäminen lisää epävarmuutta vauhdissa, koska p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Päinvastoin, epävarmuutta liikemäärässä voidaan vähentää käyttämällä pidemmän aallonpituuden elektronia, mutta tämä lisää epävarmuutta sijainnissa. Matemaattisesti voit ilmaista tämän kompromissin kertomalla epävarmuustekijät. Aallonpituus kumoutuu ja jäljelle jää ΔxΔp leaving h.

Joten jos yksi epävarmuus pienenee, toisen täytyy kasvaa niin, että niiden tulo on ≈h.

Tätä kutsutaan Heisenbergin epävarmuusperiaatteeksi. . On mahdotonta mitata paikkaa x ja momenttia p samanaikaisesti epävarmuustekijöiden Δx ja Δp kanssa, jotka kertovat pienemmiksi kuin \ frac {h} {4 \ pi} \\. Kumpikaan epävarmuus ei voi olla nolla. Kumpikaan epävarmuus ei voi tulla pieneksi ilman, että toisesta tulee suuri. Pieni aallonpituus mahdollistaa sijainnin tarkan mittaamisen, mutta se lisää anturin liikemäärää siihen pisteeseen, että se häiritsee edelleen mitattavan järjestelmän liikemäärää. Esimerkiksi, jos elektroni on sironnut atomista ja sen aallonpituus on riittävän pieni havaitsemaan elektronien sijainti atomissa, sen liikemäärä voi lyödä elektroneja kiertoradoiltaan tavalla, joka menettää tietoa alkuperäisestä liikkeestään. Siksi on mahdotonta seurata elektronia sen kiertoradalla atomin ympärillä. Jos mitat elektronin sijaintia, löydät sen tarkasta sijainnista, mutta atomi häiriintyy. Toistuvat mittaukset identtisillä atomeilla tuottavat mielenkiintoisia todennäköisyysjakaumia atomien ympärillä oleville elektronille, mutta ne eivät tuota liiketietoja. Todennäköisyysjakaumiin viitataan elektronipilvinä tai kiertoradoina. Näiden orbitaalien muodot näkyvät usein kemian yleisissä teksteissä, ja niistä on keskusteltu Aineen aaltoluonto aiheuttaa kvantisointia.

Miksi emme huomaa Heisenbergin epävarmuusperiaatetta jokapäiväisessä elämässä? Vastaus on, että Planckin vakio on hyvin pieni. Täten suurten esineiden sijainnin ja liikemäärän mittaamisen epävarmuuden alaraja on merkityksetön. Voimme havaita Jupiterista heijastuneen auringonvalon ja seurata planeettaa sen kiertoradalla auringon ympäri. Heijastunut auringonvalo muuttaa Jupiterin vauhtia ja luo epävarmuutta sen vauhdissa, mutta tämä on täysin merkityksetön verrattuna Jupiterin valtavaan vauhtiin. Vastaavuusperiaate kertoo meille, että kvanttimekaniikan ennusteet eroavat suurten esineiden klassisesta fysiikasta, mikä on tapaus tässä tapauksessa.

Heisenbergin epävarmuus energiaa ja aikaa varten

On olemassa toinen muoto Heisenbergin epävarmuusperiaatteesta energian ja ajan mittaamiseen samanaikaisesti. Yhtälömuodossa \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, missä ΔE on energian epävarmuus ja Δt on epävarmuus ajassa.Tämä tarkoittaa, että aikavälillä Δt ei ole mahdollista mitata energiaa tarkasti – mittauksessa on epävarmuus ΔE. Energian mittaamiseksi tarkemmin (jotta ΔE olisi pienempi), meidän on kasvatettava Δt. Tämä aikaväli voi olla aika, jonka kulumme mittaukseen, tai se voi olla aika, jonka tietty tila on olemassa, kuten seuraavassa esimerkissä 2.

Energian ja ajan epävarmuusperiaate voi olla suuri merkitys, jos järjestelmän käyttöikä on hyvin lyhyt. Tällöin Δt on hyvin pieni ja ΔE on siten hyvin suuri. Joillakin ytimillä ja eksoottisilla hiukkasilla on erittäin lyhyt elinikä (niinkin pieni kuin 10-25 s), mikä aiheuttaa epävarmuuksia energiassa yhtä paljon kuin monet GeV (109 eV). Varastoitu energia näkyy lisääntyneenä lepomassana, joten tämä tarkoittaa, että lyhytikäisten hiukkasten lepomassa on merkittävä epävarmuus. Toistuvasti mitattuna saadaan massojen tai hajoamisenergioiden leviäminen. Leviäminen on ΔE. Voisit kysyä, voitaisiinko tämä epävarmuus energiassa välttää mittaamatta elinikää. Vastaus on ei. Luonto tuntee eliniän, joten sen lyhyyys vaikuttaa hiukkasen energiaan. Tämä on kokeellisesti niin vakiintunutta, että hajoamisenergian epävarmuutta käytetään lyhytaikaisten tilojen käyttöiän laskemiseen. Jotkut ytimet ja hiukkaset ovat niin lyhytaikaisia, että niiden käyttöikää on vaikea mitata. Mutta jos niiden hajoamisenergia voidaan mitata, sen leviäminen on ΔE, ja tätä käytetään epävarmuusperiaatteella \ left (\ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \ right) \\ käyttöiän Δt laskemiseksi.

Energian ja ajan epävarmuusperiaatteella on toinen seuraus. Jos energia on epävarma ΔE: n avulla, ΔE voi rikkoa energiansäästöä ajaksi Δt. Fyysikko tai luonto eivät voi sanoa, että energiansäästöä on rikottu, jos rikkomus on väliaikainen ja pienempi kuin energian epävarmuus. Vaikka tämä kuulostaa tarpeeksi vaarattomalta, näemme myöhemmissä luvuissa, että se sallii aineen väliaikaisen luomisen tyhjästä ja vaikuttaa siihen, miten luonto välittää voimia hyvin pienillä etäisyyksillä.

Huomaa lopuksi, että hiukkasia ja aaltoja, olemme todenneet, että yksittäiset mittaukset tuottavat tarkkoja tai hiukkasten kaltaisia tuloksia. Selkeä sijainti määritetään joka kerta, kun tarkkailemme esimerkiksi elektronia. Toistetut mittaukset tuottavat kuitenkin aallon ominaisuuksien kanssa yhdenmukaisen arvon. Suuri teoreettinen fyysikko Richard Feynman (1918–1988) kommentoi: ”Mitä on, on hiukkasia.” Kun tarkkailet tarpeeksi heistä, he jakavat itsensä, kuten aallonilmiölle odotat. Emme kuitenkaan voi kertoa, mitä matkalla on, kun yritämme mitata, vaikuttamme matkustamiseen.

Osion yhteenveto

• Aineella havaitaan olevan samat häiriöominaisuudet kuin millä tahansa muulla aallolla.
• Hiukkasen sijainnille on nyt todennäköisyysjakauma eikä selvä jakauma. asento.
• Toinen seuraus kaikkien hiukkasten aaltomuodosta on Heisenbergin epävarmuusperiaate, joka rajoittaa tarkkuutta, jolla tietyt fyysiset suuruudet voidaan tunnistaa samanaikaisesti. Aseman ja impulssin suhteen epävarmuusperiaate on \ Delta { x} \ Delta {p} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, missä Δx on epävarmuus sijainnissa ja Δp on epävarmuus liikemäärässä.
• Energian ja ajan osalta epävarmuusperiaate on \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\ missäΔE on energian epävarmuus jaΔt on epävarmuus ajassa.
• Nämä pienet rajat ovat pohjimmiltaan tärkeitä kvanttimekaanisessa mittakaavassa.

Sanasto

Heisenbergin epävarmuusperiaate: perusraja tarkkuudelle, jolla suuruusparit (momentti) ja sijainti sekä energia ja aika) voidaan mitata

energian epävarmuus: epätarkkuus tai tarkkojen tulosten tuntemattomuus energiamittauksissa

epävarmuus ajassa: tarkkuuden puute tai tarkkojen tulosten tuntemattomuus ajanmittauksissa

epävarmuus impulssissa: tarkkuuden puute tai tarkkojen tulosten tuntemattomuus impulssimittauksissa

epävarmuus sijainnissa: tarkkuuden puute tai tarkkojen tulosten tuntemattomuus sijainnin mittauksissa

todennäköisyysjakauma: todennäköisyyksien yleinen spatiaalinen jakauma hiukkasen löytämiseksi tietystä sijainnista